MeditatiiDirect.ro
Subiectul original (PDF)

Rezolvare admitere Politehnica București 2025 (iulie), Matematică AAM Varianta S — pas cu pas

Dificultate: mediu Timp de lucru: 180 minVerificată · actualizată 2026-10-23

Rezolvarea completă, explicată pas cu pas, a chestionarului de admitere UNSTPB din 14 iulie 2025 la Algebră și Elemente de Analiză Matematică, Varianta S: ecuații exponențiale, combinări, progresii, determinanți, derivate, limite, arii cu asimptote, relațiile lui Viète, parte întreagă și ecuații cu module. Toate cele 10 răspunsuri au fost verificate simbolic.

Subiectul oficial

Chestionar de concurs — Algebră și Elemente de Analiză Matematică (AAM), Varianta S, 14 iulie 2025. Admitere UNSTPB: Algebră și Elemente de Analiză Matematică, test grilă cu 6 variante de răspuns.

Emitent: Universitatea Națională de Știință și Tehnologie POLITEHNICA București.

Deschide subiectul oficial (PDF)

Cum am verificat rezolvarea

  • PASS — Toate cele 10 răspunsuri: fiecare rezultat este calculat independent și trebuie să coincidă cu exact una dintre cele 6 variante tipărite, anume cea indicată în rezolvare (inclusiv căutare exhaustivă la itemul 9 și analiza pe porțiuni la itemul 10). Calcul simbolic cu SymPy (Python 3) (2026-10-23).

Despre barem: Nu afișăm aici o grilă oficială de răspunsuri. Rezolvarea de mai jos este a noastră, verificată independent, și nu înlocuiește baremul publicat de universitate.

Chestionar — Varianta S (90 de puncte)

Problema 1 (9 p)

Cerința, pe scurt: Soluția ecuației 2ˣ⁺¹ + 2ˣ = 12.

Ce se cere: Să găsești x scoțând factor comun puterea 2ˣ.

Noțiuni: proprietățile puterilor · ecuații exponențiale · injectivitatea funcției exponențiale

Rezolvare pas cu pas

  1. 2ˣ⁺¹ = 2 · 2ˣ, deci membrul stâng devine 2 · 2ˣ + 2ˣ = 3 · 2ˣ.
  2. 3 · 2ˣ = 12 ⇒ 2ˣ = 4 = 2².
  3. Funcția exponențială este injectivă, deci x = 2.

Răspuns final: a) x = 2

Verificare: SymPy rezolvă 2ˣ⁺¹ + 2ˣ − 12 = 0 și întoarce o singură soluție, x = 2; controlul direct: 2³ + 2² = 8 + 4 = 12.

Greșeli frecvente

  • Scrierea 2ˣ⁺¹ + 2ˣ = 2²ˣ⁺¹ (puterile nu se adună așa).
  • Confuzia 2ˣ⁺¹ = 2ˣ + 1.

Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu

Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.

Problema 2 (9 p)

Cerința, pe scurt: Numărul natural n pentru care C(n, 2) = 6.

Ce se cere: Să scrii formula combinărilor și să rezolvi ecuația de gradul al doilea în n.

Noțiuni: combinări: C(n, 2) = n(n − 1)/2 · condiția n ≥ 2 · ecuația de gradul al doilea

Rezolvare pas cu pas

  1. Condiție: n natural, n ≥ 2.
  2. C(n, 2) = n(n − 1)/2 = 6 ⇒ n(n − 1) = 12 ⇒ n² − n − 12 = 0.
  3. Δ = 1 + 48 = 49, rădăcinile sunt n = 4 și n = −3.
  4. Doar n = 4 respectă condiția.

Răspuns final: a) n = 4

Verificare: SymPy: rădăcinile lui n(n − 1)/2 − 6 sunt −3 și 4; doar 4 este natural ≥ 2, iar binomial(4, 2) = 6.

Greșeli frecvente

  • Folosirea aranjamentelor A(n, 2) = n(n − 1) = 6, de unde n = 3 (varianta c).

Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu

Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.

Problema 3 (9 p)

Cerința, pe scurt: (aₙ) progresie aritmetică cu rația r = 3 și a₃ = 7. Calculați a₅.

Ce se cere: Să treci de la al treilea termen la al cincilea adăugând rația de două ori.

Noțiuni: progresie aritmetică: aₙ = a₁ + (n − 1)r · aₖ = aⱼ + (k − j)r

Rezolvare pas cu pas

  1. a₅ = a₃ + 2r.
  2. a₅ = 7 + 2 · 3 = 13.

Răspuns final: a) 13

Verificare: SymPy: din a₁ + 2 · 3 = 7 rezultă a₁ = 1, deci a₅ = 1 + 4 · 3 = 13.

Greșeli frecvente

  • Adunarea rației o singură dată (a₅ = 10, varianta b).

Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu

Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.

Problema 4 (9 p)

Cerința, pe scurt: Rezolvați ecuația |x 6; 1 2| = 0 (determinant de ordinul 2, linia 1: x, 6; linia 2: 1, 2).

Ce se cere: Să calculezi determinantul și să-l egalezi cu 0.

Noțiuni: determinantul de ordinul 2: ad − bc

Rezolvare pas cu pas

  1. Determinantul este x · 2 − 6 · 1 = 2x − 6.
  2. 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3.

Răspuns final: a) x = 3

Verificare: SymPy calculează det = 2x − 6 și o singură soluție, x = 3.

Greșeli frecvente

  • Înmulțirea pe aceeași linie în loc de diagonale: 6x − 2 = 0.

Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu

Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.

Problema 5 (9 p)

Cerința, pe scurt: f: ℝ → ℝ, f(x) = eˣ + x². Calculați f′(1).

Ce se cere: Să derivezi și să înlocuiești x = 1.

Noțiuni: (eˣ)′ = eˣ · (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹ · derivata sumei

Rezolvare pas cu pas

  1. f′(x) = eˣ + 2x.
  2. f′(1) = e + 2.

Răspuns final: a) e + 2

Verificare: SymPy: diff(eˣ + x², x) evaluat în 1 dă e + 2, egal doar cu varianta a).

Greșeli frecvente

  • Calculul lui f(1) = e + 1 în loc de f′(1) (varianta f).

Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu

Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.

Problema 6 (9 p)

Cerința, pe scurt: Calculați l = lim (x → 2) (x² − 3x + 2)/(x − 2).

Ce se cere: Să ridici nedeterminarea 0/0 prin descompunere în factori.

Noțiuni: nedeterminarea 0/0 · descompunerea trinomului de gradul al doilea

Rezolvare pas cu pas

  1. Pentru x = 2 numărătorul și numitorul sunt 0: nedeterminare 0/0.
  2. x² − 3x + 2 = (x − 1)(x − 2).
  3. Simplificăm cu x − 2 (x ≠ 2): limita devine lim (x → 2) (x − 1) = 1.

Răspuns final: a) l = 1

Verificare: SymPy calculează limita direct: 1. Același rezultat dă și regula lui l'Hôpital: (2x − 3) în 2 = 1.

Greșeli frecvente

  • Declararea limitei 0 pentru că numărătorul se anulează în 2.

Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu

Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.

Problema 7 (9 p)

Cerința, pe scurt: f: (1, ∞) → ℝ, f(x) = x + 1/(x − 1). Aria suprafeței plane dintre graficul lui f, asimptota oblică și dreptele x = 2, x = 3.

Ce se cere: Să găsești asimptota oblică și să integrezi diferența dintre f și ea pe [2, 3].

Noțiuni: asimptota oblică y = mx + n: m = lim f(x)/x, n = lim (f(x) − mx) · aria dintre două grafice: ∫ |f − g| · ∫ 1/(x − 1) dx = ln|x − 1|

Rezolvare pas cu pas

  1. m = lim (x → ∞) f(x)/x = lim (1 + 1/(x(x − 1))) = 1.
  2. n = lim (x → ∞) (f(x) − x) = lim 1/(x − 1) = 0, deci asimptota oblică este y = x.
  3. Pe [2, 3]: f(x) − x = 1/(x − 1) > 0, deci graficul este deasupra asimptotei.
  4. Aria = ∫₂³ 1/(x − 1) dx = ln(x − 1) |₂³ = ln 2 − ln 1 = ln 2.

Răspuns final: a) ln 2

Verificare: SymPy: limitele dau m = 1, n = 0; minimul lui f(x) − x pe [2, 3] este pozitiv, iar ∫₂³ (f(x) − x) dx = ln 2.

Greșeli frecvente

  • Integrarea lui f în loc de f − asimptotă.
  • Calculul ln(x − 1) între 2 și 3 ca ln 3 − ln 2 (uitând de „− 1”).

Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu

Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.

Problema 8 (9 p)

Cerința, pe scurt: x₁, x₂, x₃ sunt rădăcinile lui f = X³ + mX + 6, m < 0. Dacă x₁⁴ + x₂⁴ + x₃⁴ = 98, calculați |x₁| + |x₂| + |x₃|.

Ce se cere: Să exprimi suma puterilor a patra prin m, să afli m, apoi rădăcinile.

Noțiuni: relațiile lui Viète · sume de puteri ale rădăcinilor · descompunerea polinomului

Rezolvare pas cu pas

  1. Viète: s₁ = x₁ + x₂ + x₃ = 0, s₂ = x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = m, s₃ = x₁x₂x₃ = −6.
  2. x₁² + x₂² + x₃² = s₁² − 2s₂ = −2m.
  3. Σ(xᵢxⱼ)² = s₂² − 2·s₁·s₃ = m² (pentru că s₁ = 0).
  4. Σxᵢ⁴ = (Σxᵢ²)² − 2·Σ(xᵢxⱼ)² = 4m² − 2m² = 2m².
  5. 2m² = 98 ⇒ m² = 49, iar din m < 0 rezultă m = −7.
  6. f = X³ − 7X + 6; f(1) = 0, deci f = (X − 1)(X² + X − 6) = (X − 1)(X − 2)(X + 3).
  7. Rădăcinile sunt 1, 2, −3, iar |1| + |2| + |−3| = 6.

Răspuns final: a) 6

Verificare: SymPy: identitățile lui Newton dau Σxᵢ⁴ = 2m²; singura soluție negativă este m = −7; rădăcinile lui X³ − 7X + 6 sunt −3, 1, 2 (cu 81 + 1 + 16 = 98), iar suma modulelor este 6.

Greșeli frecvente

  • Răspunsul 0, adică x₁ + x₂ + x₃, uitând de module (varianta d).
  • Ignorarea condiției m < 0 (m = 7 dă alt polinom, cu o singură rădăcină reală).

Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu

Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.

Problema 9 (9 p)

Cerința, pe scurt: Numărul soluțiilor reale ale ecuației [(2x − 1)/3] + [(4x + 1)/6] = (5x − 4)/3, unde [a] este partea întreagă a lui a.

Ce se cere: Să observi că membrul drept trebuie să fie întreg, să mărginești acel întreg și să verifici fiecare caz.

Noțiuni: partea întreagă: a − 1 < [a] ≤ a · substituția cu un număr întreg

Rezolvare pas cu pas

  1. Membrul stâng e întreg, deci (5x − 4)/3 = k ∈ ℤ, adică x = (3k + 4)/5.
  2. Notăm A = (2x − 1)/3, B = (4x + 1)/6. Atunci A + B = (8x − 1)/6, iar cu x = (3k + 4)/5 obținem A + B = (8k + 9)/10.
  3. Din A − 1 < [A] ≤ A și B − 1 < [B] ≤ B: A + B − 2 < k ≤ A + B.
  4. k ≤ (8k + 9)/10 ⇒ 2k ≤ 9 ⇒ k ≤ 4; (8k + 9)/10 − 2 < k ⇒ −11 < 2k ⇒ k ≥ −5. Rămân k ∈ {−5, …, 4}.
  5. Verificăm fiecare k: k = −2 (x = −2/5): [−3/5] + [−1/10] = −1 − 1 = −2 ✓; k = −1 (x = 1/5): [−1/5] + [3/10] = −1 + 0 = −1 ✓; k = 0 (x = 4/5): [1/5] + [7/10] = 0 ✓; k = 1 (x = 7/5): [3/5] + [11/10] = 0 + 1 = 1 ✓; k = 2 (x = 2): [1] + [3/2] = 1 + 1 = 2 ✓.
  6. Celelalte valori nu merg: k = −5 dă −4, k = −4 dă −3, k = −3 dă −2, k = 3 dă 2, k = 4 dă 3.
  7. Soluțiile sunt x ∈ {−2/5, 1/5, 4/5, 7/5, 2}: 5 soluții.

Răspuns final: a) 5

Verificare: Căutare exhaustivă cu numere raționale exacte (SymPy) pentru toate k între −1000 și 1000, mult peste margine: exact 5 soluții, −2/5, 1/5, 4/5, 7/5, 2.

Greșeli frecvente

  • Tratarea părții întregi ca pe o paranteză obișnuită (se obține o singură soluție).
  • Verificarea doar a valorilor întregi ale lui x.

Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu

Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.

Problema 10 (9 p)

Cerința, pe scurt: Valoarea parametrului real m pentru care ecuația ||x − 1| − 2| − 3| = mx are o infinitate de soluții.

Ce se cere: Să explicitezi funcția din stânga pe intervale și să găsești o porțiune de dreaptă care trece prin origine.

Noțiuni: explicitarea modulului · funcții liniare pe porțiuni · intersecția a două drepte

Rezolvare pas cu pas

  1. Fie g(x) = ||x − 1| − 2| − 3|. Explicităm din interior spre exterior.
  2. x ≤ −4: g(x) = −x − 4; −4 ≤ x ≤ −1: g(x) = x + 4; −1 ≤ x ≤ 1: g(x) = 2 − x.
  3. 1 ≤ x ≤ 3: |x − 1| − 2 = x − 3 ≤ 0, deci ||x − 1| − 2| = 3 − x și g(x) = |−x| = x.
  4. 3 ≤ x ≤ 6: g(x) = 6 − x; x ≥ 6: g(x) = x − 6.
  5. Dreapta y = mx trece prin origine. Dacă ea nu coincide cu nicio porțiune a graficului, intersectează fiecare porțiune în cel mult un punct, deci are un număr finit de soluții.
  6. Singura porțiune aflată pe o dreaptă prin origine este g(x) = x pe [1, 3] (celelalte au termen liber −4, 4, 2, 6, −6). Pentru m = 1 toate x ∈ [1, 3] sunt soluții.

Răspuns final: a) m = 1

Verificare: SymPy: pe fiecare dintre cele 6 porțiuni am calculat panta și termenul liber; doar porțiunea [1, 3] are termen liber 0, cu panta 1. Control: g(x) = x pentru toate x = 1; 1,1; …; 3.

Greșeli frecvente

  • Desfacerea modulelor „deodată”, fără a ține cont de semnul fiecărei expresii.
  • Alegerea pantei unei porțiuni care nu trece prin origine (de ex. m = −1 de pe 2 − x).

Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu

Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.

Punctaj: Fiecare dintre cele 10 itemi are tipărit „9 pct.”, deci itemii însumează 90 de puncte (subiectul nu tipărește un punctaj din oficiu). Fiecare item are un singur răspuns corect din cele 6 variante a)–f).

Rezolvare originală MeditatiiDirect.ro, nu barem oficial. Sursa subiectului: http://www.physics.pub.ro/Admitere/2025/Algebra_si_Elemente_de_Analiza_Matematica_AAM_(Varianta_S).pdf. Ai găsit o greșeală? Semnalează-ne.

Te pregătești pentru admitere?

Descrii o dată ce ai nevoie, iar profesorii îți trimit propuneri cu dată, oră și tarif.

Cere ofertă de pregătire