Rezolvare BAC Matematică 2021 — Simulare națională

Rezolvăm integral subiectul de Matematică M_mate-info, Simulare Bacalaureat 2021 (filiera teoretică, profil real, specializarea matematică-informatică / filiera vocațională, profil militar). Subiectul conține trei părți: Subiectul I (progresii, funcții, ecuații, combinatorică, geometrie vectorială și trigonometrie), Subiectul al II-lea (sisteme de ecuații cu matrice parametrizate și o lege de compoziție) și Subiectul al III-lea (studiul unei funcții cu radical și calcul integral).

1.

Progresia geometrică $(b_n)_{n\ge1}$ are rația $q$, deci $b_4 = b_2\cdot q^2$.

$$4 = 2\cdot q^2 \Rightarrow q^2 = 2$$

Atunci: $$b_6 = b_4\cdot q^2 = 4\cdot 2 = 8$$

Rezultat: $b_6=8$.

2.

Pentru $f(x)=x^2-2x+m$, vârful parabolei are abscisa: $$x_V = -\frac{b}{2a} = \frac{2}{2}=1$$ și ordonata: $$y_V = f(1) = 1-2+m = m-1$$

Vârful trebuie să fie pe dreapta $y=3x$, deci: $$y_V = 3\cdot x_V \Rightarrow m-1 = 3\cdot 1 = 3 \Rightarrow m=4$$

Rezultat: $m=4$.

3.

Notăm $t=2^x>0$. Cum $4^x=(2^x)^2=t^2$ și $2^{x+1}=2\cdot t$, ecuația devine: $$t^2-2t-3=0$$ $$(t-3)(t+1)=0 \Rightarrow t=3 \text{ sau } t=-1$$

Cum $t=2^x>0$, respingem $t=-1$. Rămâne: $$2^x=3 \Rightarrow x=\log_2 3$$

Rezultat: $x=\log_2 3$.

4.

Un număr de trei cifre are forma $\overline{d_1d_2d_3}$, cu $d_1\in\{1,\dots,9\}$, $d_2,d_3\in\{0,\dots,9\}$.

Calculăm prin complementară:

• Total numere de trei cifre: $900$.
• Numere cu toate cifrele distincte: $9\cdot 9\cdot 8 = 648$ (prima cifră 9 opțiuni, a doua 9 opțiuni diferite de prima, a treia 8 opțiuni diferite de primele două).
• Numere cu toate cifrele egale: $d_1=d_2=d_3\in\{1,\dots,9\}$, deci $9$ numere.

Numerele cu exact două cifre egale sunt cele rămase: $$900-648-9=243$$

Rezultat: $243$ numere.

5.

Fie $M$ mijlocul comun al segmentelor $AB$ și $A'B'$. Folosind vectori de poziție față de o origine $O$: $$M=\frac{A+B}{2}=\frac{A'+B'}{2} \Rightarrow A+B=A'+B'$$

Atunci: $$\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{BA'} = (B'-A)+(A'-B) = (A'+B')-(A+B) = \vec0$$

Concluzie demonstrată: $\overrightarrow{AB'}+\overrightarrow{BA'}=\vec0$.

6.

Din teorema sinusurilor în triunghiul $ABC$: $$\frac{AB}{\sin C}=\frac{AC}{\sin B}=\frac{BC}{\sin A}=2R$$

De aici: $$AB=2R\sin C,\quad AC=2R\sin B,\quad BC=2R\sin A$$

Adunând: $$AB+AC+BC = 2R(\sin A+\sin B+\sin C)$$

Concluzie demonstrată.

1. a)

Pentru $a=0,b=1$: $$X(0,1)=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&2&3\\0&1&1\end{pmatrix}$$

Calculăm determinantul (regula lui Sarrus sau dezvoltare): $$\det(X(0,1)) = 0(2\cdot1-3\cdot1) - 1(1\cdot1-3\cdot0) + 2(1\cdot1-2\cdot0)$$ $$= 0(-1) - 1(1) + 2(1) = 0-1+2=1$$

Rezultat: $\det(X(0,1))=1$.

1. b)

Calculăm determinantul general, dezvoltând după linia a treia ($0,1,1$):

$$\det(X(a,b)) = 1\cdot C_{32} + 1\cdot C_{33}$$

$$C_{32}=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}a&a+2\\b&b+2\end{vmatrix} = -\big[a(b+2)-b(a+2)\big] = -(2a-2b)=2(b-a)$$

$$C_{33}=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}a&a+1\\b&b+1\end{vmatrix} = a(b+1)-b(a+1) = a-b$$

Deci: $$\det(X(a,b)) = 2(b-a)+(a-b) = b-a$$

Matricea sistemului este chiar $X(a,b)$. Dacă $a\neq b$, atunci $\det(X(a,b))=b-a\neq 0$, deci (prin regula lui Cramer) sistemul are soluție unică.

Concluzie demonstrată: pentru $a\ne b$, sistemul are soluție unică.

1. c)

Din a treia ecuație: $z=1-y$.

Înlocuim în prima ecuație: $$ax+(a+1)y+(a+2)(1-y)=a$$ $$ax+y\big[(a+1)-(a+2)\big]+(a+2)=a$$ $$ax-y = -2 \Rightarrow y=ax+2$$

Înlocuim în a doua ecuație, analog: $$bx-y=-2 \Rightarrow y=bx+2$$

Egalând: $$ax+2=bx+2 \Rightarrow x(a-b)=0$$

Cum $a\neq b$ (condiție de existență a soluției unice), rezultă $x_0=0$.

Atunci $y_0=a\cdot 0+2=2$ și $z_0=1-y_0=-1$.

Soluția $(x_0,y_0,z_0)=(0,2,-1)$ nu depinde de $a$. Verificăm: $$y_0^2-z_0^2-2ax_0 = 4-1-2a\cdot 0 = 3$$

Cum $x_0=0$, termenul $2ax_0=0$ indiferent de valoarea lui $a$, deci relația este adevărată pentru orice număr real $a$.

Concluzie demonstrată.

2. a)

Legea: $x*y=(x-1)^{\log_3(y-1)}+1$.

$$5*10=(5-1)^{\log_3(10-1)}+1 = 4^{\log_3 9}+1$$

Cum $\log_3 9=2$: $$4^2+1=16+1=17$$

Concluzie demonstrată: $5*10=17$.

2. b)

Căutăm $e\in M$ astfel încât $x*e=x$ pentru orice $x\in M$: $$(x-1)^{\log_3(e-1)}+1=x \Rightarrow (x-1)^{\log_3(e-1)}=x-1$$

Această egalitate are loc pentru orice $x$ dacă exponentul este $1$: $$\log_3(e-1)=1 \Rightarrow e-1=3 \Rightarrow e=4$$

Verificăm și cealaltă condiție, $e*x=x$: $$e*x=(4-1)^{\log_3(x-1)}+1=3^{\log_3(x-1)}+1=(x-1)+1=x \checkmark$$

Rezultat: elementul neutru este $e=4$.

2. c)

Notăm $u=x-1>1$ (pentru $x\in M=(2,\infty)$) și $t=\log_3 u$.

Calculăm: $$x*x=(x-1)^{\log_3(x-1)}+1=u^t+1$$

Notăm $y=x*x$, deci $y-1=u^t$. Atunci: $$x*x*x=y*x=(y-1)^{\log_3(x-1)}+1=(u^t)^t+1=u^{t^2}+1$$

Ecuația $x*x*x=x*x$ devine: $$u^{t^2}+1=u^t+1 \Rightarrow u^{t^2}=u^t$$

Cum $u>1\Rightarrow u\neq1$, rezultă: $$t^2=t \Rightarrow t(t-1)=0 \Rightarrow t=0 \text{ sau } t=1$$

• $t=0 \Rightarrow u=1 \Rightarrow x=2$, dar $2\notin M$ (interval deschis), respingem.
• $t=1 \Rightarrow u=3 \Rightarrow x-1=3 \Rightarrow x=4$

Rezultat: $x=4$.

1. a)

$$f(x)=\sqrt{e^{2x}+x^4+2}=(e^{2x}+x^4+2)^{1/2}$$

$$f'(x)=\frac12(e^{2x}+x^4+2)^{-1/2}\cdot(2e^{2x}+4x^3)=\frac{2e^{2x}+4x^3}{2\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}$$

$$f'(x)=\frac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}$$

Concluzie demonstrată.

1. b)

Calculăm punctul de pe grafic la $x=0$: $$f(0)=\sqrt{1+0+2}=\sqrt3$$

Panta tangentei: $$f'(0)=\frac{e^0+2\cdot0^3}{\sqrt{e^0+0+2}}=\frac{1}{\sqrt3}$$

Dreapta dată $x-\sqrt3 y=0$ se scrie $y=\dfrac{x}{\sqrt3}$, deci are panta $\dfrac{1}{\sqrt3}$.

Cum pantele sunt egale ($f'(0)=\frac1{\sqrt3}$) și punctul de tangență $(0,\sqrt3)$ nu aparține dreptei date (la $x=0$, dreapta dă $y=0\neq\sqrt3$), tangenta este paralelă cu dreapta $x-\sqrt3y=0$.

Concluzie demonstrată.

1. c)

Numitorul lui $f'(x)$ este strict pozitiv (fiind o rădăcină pătrată dintr-o sumă pozitivă), deci semnul lui $f'$ este dat de numărător: $$g(x)=e^{2x}+2x^3$$

Derivăm: $$g'(x)=2e^{2x}+6x^2>0,\ \forall x\in\mathbb R$$

(suma dintre $2e^{2x}>0$ și $6x^2\geq 0$ este strict pozitivă), deci $g$ este strict crescătoare pe $\mathbb R$.

Limite: $$\lim_{x\to-\infty}g(x)=0+(-\infty)=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}g(x)=+\infty$$

Cum $g$ este continuă, strict crescătoare, cu limite $-\infty$ și $+\infty$, există un unic $x_0\in\mathbb R$ astfel încât $g(x_0)=0$.

• pentru $x<x_0$: $g(x)<0 \Rightarrow f'(x)<0$ ($f$ descrescătoare)
• pentru $x>x_0$: $g(x)>0 \Rightarrow f'(x)>0$ ($f$ crescătoare)

Deci $x_0$ este punct de minim și este unicul punct de extrem al funcției $f$.

Concluzie demonstrată.

2. a)

$$f(x)=\frac12\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+3}\right)$$

$$2f(x)=\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+3}$$

$$2f(x)+\frac{1}{x^2+3}=\frac{1}{x^2+1}$$

Atunci: $$\int_0^1\left(2f(x)+\frac1{x^2+3}\right)dx=\int_0^1\frac{1}{x^2+1}dx=\arctan x\Big|_0^1=\arctan1-\arctan0$$

$$=\frac{\pi}{4}-0=\frac{\pi}{4}$$

Concluzie demonstrată.

2. b)

Fie $F$ o primitivă a lui $f$, deci $F'=f$.

Pentru orice $x\in\mathbb R$: $x^2+1<x^2+3$ (ambele strict pozitive), deci: $$\frac{1}{x^2+1}>\frac{1}{x^2+3}$$

Astfel: $$f(x)=\frac12\left(\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{x^2+3}\right)>0,\ \forall x\in\mathbb R$$

Cum $F'(x)=f(x)>0$ pentru orice $x$, rezultă că $F$ este strict crescătoare pe $\mathbb R$.

Concluzie demonstrată.

2. c)

Trebuie demonstrat că, pentru orice $a<b$ reali: $$\int_a^b f(x)F^2(x)\,dx>0$$

Din punctul b), $f(x)>0$ pentru orice $x\in\mathbb R$, iar $F^2(x)\geq0$ pentru orice $x$ (pătrat).

Deci integrandul $f(x)F^2(x)$ este continuu și nenegativ pe $[a,b]$.

Presupunem, prin reducere la absurd, că integrandul ar fi identic nul pe $[a,b]$. Cum $f(x)\neq0$ pentru orice $x$, ar rezulta $F(x)=0$ pentru orice $x\in[a,b]$, adică $F$ constantă (egală cu $0$) pe $[a,b]$ — contradicție cu faptul că $F$ este strict crescătoare (demonstrat la punctul b), deci nu poate fi constantă pe niciun interval.

Așadar integrandul nu este identic nul pe $[a,b]$; fiind continuu și nenegativ, rezultă: $$\int_a^b f(x)F^2(x)\,dx>0$$

Concluzie demonstrată.

| Subiect | Item | Răspuns | |---|---|---| | I | 1 | $b_6=8$ | | I | 2 | $m=4$ | | I | 3 | $x=\log_2 3$ | | I | 4 | $243$ numere | | I | 5 | demonstrație | | I | 6 | demonstrație | | II.1 | a | $\det(X(0,1))=1$ | | II.1 | b | $\det(X(a,b))=b-a\neq0$ pentru $a\neq b$ | | II.1 | c | $(x_0,y_0,z_0)=(0,2,-1)$, relația $=3$ | | II.2 | a | $5*10=17$ | | II.2 | b | $e=4$ | | II.2 | c | $x=4$ | | III.1 | a | $f'(x)=\dfrac{e^{2x}+2x^3}{\sqrt{e^{2x}+x^4+2}}$ | | III.1 | b | tangentele au aceeași pantă $\frac1{\sqrt3}$, paralele | | III.1 | c | unic punct de extrem (minim) | | III.2 | a | $\dfrac{\pi}{4}$ | | III.2 | b | $F$ strict crescătoare ($f>0$) | | III.2 | c | integrala este strict pozitivă |

• La progresia geometrică, confundarea relației $b_4=b_2\cdot q^2$ cu $b_4=b_2+2q$ (progresie aritmetică).
• La ecuația exponențială, uitarea condiției $t=2^x>0$, ceea ce ar duce la acceptarea greșită a soluției $t=-1$.
• La numărarea numerelor cu exact două cifre egale, confuzia cu "cel puțin două cifre egale" (care ar include și numerele cu toate cifrele egale).
• La determinantul matricei $X(a,b)$, erori de semn la dezvoltarea după o linie/coloană cu cofactori.
• La legea de compoziție, omiterea verificării că elementul neutru trebuie să satisfacă ambele condiții ($x*e=x$ și $e*x=x$).
• La funcția cu radical, uitarea faptului că numitorul este strict pozitiv, ceea ce simplifică mult studiul semnului derivatei.
• La ultimul punct (III.2.c), omiterea argumentului de continuitate/nenulitate a integrandului, afirmând direct "integrala e pozitivă" fără justificare riguroasă.

Subiectul a acoperit noțiuni esențiale de algebră (progresii, ecuații exponențiale, combinatorică), geometrie vectorială și trigonometrie (Subiectul I), sisteme liniare cu parametri și determinanți, legi de compoziție (Subiectul al II-lea), precum și analiză matematică — derivate, monotonie, extreme, primitive și integrale definite (Subiectul al III-lea). Ideile cheie: folosirea determinantului pentru studiul soluției unice a unui sistem (Cramer), studiul semnului derivatei pentru localizarea extremelor, și proprietatea de monotonie strictă dedusă din semnul strict pozitiv al derivatei.