Rezolvare BAC Matematică 2024 — Sesiunea august–septembrie, Varianta 3
Dificultate: ușor Timp de lucru: 180 minVerificată · actualizată 2026-10-23
Rezolvarea completă, explicată pas cu pas, a subiectului de bacalaureat la matematică M_tehnologic din sesiunea august 2024, Varianta 3: calcule, logaritmi, probabilități, geometrie analitică, matrice, polinoame (relațiile lui Viète), derivate, asimptote, monotonie și integrale. Toate rezultatele au fost verificate simbolic.
Subiectul oficial
Proba E. c) — Matematică M_tehnologic, Varianta 3. Filiera tehnologică: profilul servicii, profilul resurse, profilul tehnic — toate calificările profesionale.
Emitent: Ministerul Educației — Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație.
Deschide subiectul oficial (PDF)Cum am verificat rezolvarea
- PASS — Toate cele 15 rezultate: calcule, ecuația logaritmică, probabilitatea, mijlocul segmentului, perimetrul, determinantul, ecuația matriceală, polinomul (inclusiv control numeric cu rădăcinile complexe), derivata, limita, monotonia și cele trei integrale. Calcul simbolic cu SymPy 1.14 (Python 3) (2026-10-23).
Despre barem: Baremul din arhiva noastră pentru această sesiune este pentru M_șt-nat, nu pentru M_tehnologic, așa că nu îl afișăm lângă această variantă. Rezolvarea de mai jos este a noastră și nu înlocuiește baremul oficial.
Subiectul I (30 de puncte)
Subiectul I, 1 (5 p)
Cerința, pe scurt: Arătați că (0,3 + 0,4) · 10 + 2 · 0,5 = 8.
Ce se cere: Un calcul cu ordinea operațiilor.
Noțiuni: ordinea operațiilor · înmulțirea cu 10
Rezolvare pas cu pas
- Paranteza: 0,3 + 0,4 = 0,7.
- 0,7 · 10 = 7 și 2 · 0,5 = 1.
- 7 + 1 = 8.
Răspuns final: 8 — egalitatea este adevărată.
Verificare: Calcul exact cu fracții: (3/10 + 4/10) · 10 + 2 · 1/2 = 8.
Greșeli frecvente
- Înmulțirea doar a lui 0,4 cu 10, uitând paranteza.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul I, 2 (5 p)
Cerința, pe scurt: f(x) = 2x − 1. Arătați că f(1) + f(2) = 4.
Ce se cere: Să înlocuiești x cu 1 și cu 2.
Noțiuni: valoarea unei funcții într-un punct
Rezolvare pas cu pas
- f(1) = 2 · 1 − 1 = 1.
- f(2) = 2 · 2 − 1 = 3.
- f(1) + f(2) = 1 + 3 = 4.
Răspuns final: 4
Verificare: Evaluare directă în Python.
Greșeli frecvente
- Calculul f(1 + 2) = f(3) = 5 în loc de f(1) + f(2).
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul I, 3 (5 p)
Cerința, pe scurt: Rezolvați în ℝ ecuația log₅(2x + 1) = log₅ 5.
Ce se cere: Condiția de existență și egalarea argumentelor.
Noțiuni: condiția de existență a logaritmului · injectivitatea funcției logaritmice
Rezolvare pas cu pas
- Condiție: 2x + 1 > 0, adică x > −1/2.
- Logaritmii în aceeași bază sunt egali doar dacă argumentele sunt egale: 2x + 1 = 5.
- 2x = 4, deci x = 2, care respectă condiția (2 > −1/2).
Răspuns final: x = 2
Verificare: SymPy rezolvă log₅(2x+1) − 1 = 0 și întoarce doar x = 2.
Greșeli frecvente
- Omiterea condiției de existență (aici nu schimbă rezultatul, dar se punctează la barem).
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul I, 4 (5 p)
Cerința, pe scurt: Alegem un număr din A = {11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91}. Probabilitatea ca el să fie divizibil cu 3.
Ce se cere: Cazuri favorabile / cazuri posibile.
Noțiuni: probabilitate clasică · criteriul de divizibilitate cu 3 (suma cifrelor)
Rezolvare pas cu pas
- Cazuri posibile: 9 (A are 9 elemente).
- Suma cifrelor trebuie să fie divizibilă cu 3: 21 (2+1=3), 51 (5+1=6), 81 (8+1=9). Celelalte au sumele 2, 4, 5, 7, 8, 10.
- Cazuri favorabile: 3. p = 3/9 = 1/3.
Răspuns final: p = 1/3
Verificare: Am filtrat mulțimea cu a % 3 == 0: [21, 51, 81], deci 3/9 = 1/3.
Greșeli frecvente
- Includerea lui 91 (91 = 7 · 13, nu e divizibil cu 3).
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul I, 5 (5 p)
Cerința, pe scurt: A(3, 1), B(m, 2), C(5, 3). Determinați m știind că B este mijlocul segmentului AC.
Ce se cere: Coordonatele mijlocului unui segment.
Noțiuni: mijlocul segmentului: media coordonatelor
Rezolvare pas cu pas
- Mijlocul lui AC are coordonatele ((3 + 5)/2, (1 + 3)/2) = (4, 2).
- Ordonata 2 se potrivește deja cu B; din abscisă, m = 4.
Răspuns final: m = 4
Verificare: Calcul exact: (8/2, 4/2) = (4, 2).
Greșeli frecvente
- Scăderea coordonatelor în loc de medie.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul I, 6 (5 p)
Cerința, pe scurt: Triunghiul ABC este dreptunghic în A, BC = 20, AC = 16. Arătați că perimetrul este 48.
Ce se cere: Cateta lipsă cu teorema lui Pitagora, apoi suma laturilor.
Noțiuni: teorema lui Pitagora · ipotenuza se opune unghiului drept
Rezolvare pas cu pas
- Unghiul drept e în A, deci BC este ipotenuza: AB² + AC² = BC².
- AB² = 400 − 256 = 144, deci AB = 12.
- P = AB + AC + BC = 12 + 16 + 20 = 48.
Răspuns final: P = 48
Verificare: √(20² − 16²) = 12 și 12 + 16 + 20 = 48.
Greșeli frecvente
- Tratarea lui AC ca ipotenuză: AB = √(256 + 400) — greșit, ipotenuza este BC.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
Subiectul al II-lea, 1a (5 p)
Cerința, pe scurt: A(x) are liniile (2x + 1, 1) și (1, x). Arătați că det(A(1)) = 2.
Ce se cere: Înlocuiești x = 1 și calculezi un determinant de ordinul 2.
Noțiuni: determinant de ordinul 2: ad − bc
Rezolvare pas cu pas
- A(1) are liniile (3, 1) și (1, 1).
- det(A(1)) = 3 · 1 − 1 · 1 = 2.
Răspuns final: det(A(1)) = 2
Verificare: SymPy: Matrix([[3,1],[1,1]]).det() = 2.
Greșeli frecvente
- Adunarea produselor (3 + 1) în loc de diferență.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al II-lea, 1b (5 p)
Cerința, pe scurt: Arătați că A(1) + A(5) = 2A(3).
Ce se cere: Calculezi fiecare membru și compari element cu element.
Noțiuni: adunarea matricelor · înmulțirea unei matrice cu un scalar
Rezolvare pas cu pas
- A(1) = (3 1; 1 1), A(5) = (11 1; 1 5), deci A(1) + A(5) = (14 2; 2 6).
- A(3) = (7 1; 1 3), deci 2A(3) = (14 2; 2 6).
- Matricele sunt egale.
Răspuns final: A(1) + A(5) = (14 2; 2 6) = 2A(3)
Verificare: Egalitate de matrice verificată cu SymPy.
Greșeli frecvente
- Dublarea doar a primei linii a lui A(3).
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al II-lea, 1c (5 p)
Cerința, pe scurt: Determinați X ∈ M₂(ℝ) pentru care X · A(1) = A(3).
Ce se cere: Înmulțești la dreapta cu inversa lui A(1).
Noțiuni: matrice inversabilă (det ≠ 0) · inversa unei matrice 2×2 · ecuații matriceale: X·A = B ⇒ X = B·A⁻¹
Rezolvare pas cu pas
- det(A(1)) = 2 ≠ 0, deci A(1) este inversabilă: A(1)⁻¹ = (1/2) · (1 −1; −1 3).
- X = A(3) · A(1)⁻¹ = (1/2) · (7 1; 1 3) · (1 −1; −1 3) = (1/2) · (6 −4; −2 8).
- X = (3 −2; −1 4).
- Ordinea contează: înmulțim cu inversa la dreapta, pentru că X stă în stânga lui A(1).
Răspuns final: X = (3 −2; −1 4)
Verificare: SymPy: X · A(1) = (3·3 − 2·1, 3·1 − 2·1; −1·3 + 4·1, −1·1 + 4·1) = (7 1; 1 3) = A(3).
Greșeli frecvente
- X = A(1)⁻¹ · A(3) (inversa la stânga) — dă altă matrice, care nu verifică ecuația.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al II-lea, 2a (5 p)
Cerința, pe scurt: f = X³ + mX² + 2X − 5. Arătați că f(0) = −5 pentru orice m real.
Ce se cere: Valoarea polinomului în 0 este termenul liber.
Noțiuni: valoarea unui polinom într-un punct
Rezolvare pas cu pas
- f(0) = 0 + m · 0 + 2 · 0 − 5 = −5, oricare ar fi m.
Răspuns final: f(0) = −5
Verificare: Substituție simbolică (m rămâne parametru): rezultatul nu depinde de m.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al II-lea, 2b (5 p)
Cerința, pe scurt: Determinați m știind că 1 este rădăcină a lui f.
Ce se cere: f(1) = 0.
Noțiuni: rădăcina unui polinom
Rezolvare pas cu pas
- f(1) = 1 + m + 2 − 5 = m − 2.
- m − 2 = 0, deci m = 2.
Răspuns final: m = 2
Verificare: SymPy rezolvă f(1) = 0 în m: [2].
Greșeli frecvente
- Semnul termenului liber: −5, nu +5.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al II-lea, 2c (5 p)
Cerința, pe scurt: Determinați m natural pentru care x₁² + x₂² + x₃² = 5 (x₁, x₂, x₃ rădăcinile lui f).
Ce se cere: Relațiile lui Viète și identitatea pentru suma pătratelor.
Noțiuni: relațiile lui Viète pentru gradul 3 · x₁² + x₂² + x₃² = (x₁+x₂+x₃)² − 2(x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃)
Rezolvare pas cu pas
- Viète: x₁ + x₂ + x₃ = −m și x₁x₂ + x₁x₃ + x₂x₃ = 2.
- x₁² + x₂² + x₃² = m² − 2 · 2 = m² − 4.
- m² − 4 = 5 ⇒ m² = 9 ⇒ m = 3 sau m = −3; m natural, deci m = 3.
Răspuns final: m = 3
Verificare: Simbolic: m² − 4 = 5 dă m ∈ {−3, 3}; numeric: pentru m = 3 am calculat cele trei rădăcini (una reală, două complexe) și suma pătratelor lor este 5.
Greșeli frecvente
- Semnul sumei rădăcinilor: x₁ + x₂ + x₃ = −m (nu m) — aici nu schimbă rezultatul, pentru că se ridică la pătrat.
- Păstrarea și a lui m = −3, care nu este natural.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
Subiectul al III-lea, 1a (5 p)
Cerința, pe scurt: f(x) = x² / (x² + 1). Arătați că f'(x) = 2x / (x² + 1)².
Ce se cere: Derivata unui cât.
Noțiuni: (u/v)' = (u'v − uv') / v²
Rezolvare pas cu pas
- u = x², u' = 2x; v = x² + 1, v' = 2x.
- f'(x) = (2x(x² + 1) − x² · 2x) / (x² + 1)² = (2x³ + 2x − 2x³) / (x² + 1)² = 2x / (x² + 1)².
Răspuns final: f'(x) = 2x / (x² + 1)², x ∈ ℝ
Verificare: SymPy: diferența dintre derivata calculată și 2x/(x²+1)² se simplifică la 0.
Greșeli frecvente
- Inversarea termenilor de la numărător (uv' − u'v) — schimbă semnul.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al III-lea, 1b (5 p)
Cerința, pe scurt: Ecuația asimptotei orizontale spre +∞ la graficul lui f.
Ce se cere: Limita lui f la +∞.
Noțiuni: asimptotă orizontală: y = lim f(x), dacă limita e finită
Rezolvare pas cu pas
- f(x) = x² / (x² + 1) = 1 / (1 + 1/x²) → 1 când x → +∞.
Răspuns final: y = 1
Verificare: SymPy: limit(x²/(x²+1), x, ∞) = 1.
Greșeli frecvente
- Scrierea „x = 1” — asimptota orizontală are ecuație de forma y = constantă.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al III-lea, 1c (5 p)
Cerința, pe scurt: Determinați intervalele de monotonie ale lui f.
Ce se cere: Semnul derivatei.
Noțiuni: f' ≥ 0 ⇒ f crescătoare; f' ≤ 0 ⇒ f descrescătoare
Rezolvare pas cu pas
- Numitorul (x² + 1)² > 0, deci semnul lui f' este semnul lui 2x.
- f'(x) ≤ 0 pentru x ≤ 0 și f'(x) ≥ 0 pentru x ≥ 0 (f'(0) = 0).
Răspuns final: f este descrescătoare pe (−∞, 0] și crescătoare pe [0, +∞)
Verificare: SymPy: f' ≤ 0 exact pe (−∞, 0] și f' ≥ 0 exact pe [0, +∞).
Greșeli frecvente
- Studierea semnului numitorului, care e mereu pozitiv.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al III-lea, 2a (5 p)
Cerința, pe scurt: f(x) = eˣ(x + 1). Arătați că ∫₀¹ f(x)/(x + 1) dx = e − 1.
Ce se cere: Simplifici, apoi integrezi eˣ.
Noțiuni: primitiva lui eˣ este eˣ · formula Leibniz–Newton
Rezolvare pas cu pas
- Pe [0, 1], x + 1 > 0, deci f(x)/(x + 1) = eˣ.
- ∫₀¹ eˣ dx = eˣ |₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1.
Răspuns final: e − 1
Verificare: SymPy calculează integrala exact: e − 1.
Greșeli frecvente
- e⁰ = 0 în loc de e⁰ = 1.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al III-lea, 2b (5 p)
Cerința, pe scurt: Arătați că ∫₀¹ f(x) dx = e.
Ce se cere: Recunoști o derivată de produs (sau integrezi prin părți).
Noțiuni: (x·eˣ)' = eˣ(x + 1) · integrarea prin părți
Rezolvare pas cu pas
- (x · eˣ)' = eˣ + x eˣ = eˣ(x + 1) = f(x), deci x · eˣ este o primitivă a lui f.
- ∫₀¹ f(x) dx = x eˣ |₀¹ = 1 · e − 0 · 1 = e.
Răspuns final: e
Verificare: SymPy calculează integrala exact: e.
Greșeli frecvente
- Integrarea separată a lui eˣ și a lui x (produsul nu se integrează factor cu factor).
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Subiectul al III-lea, 2c (5 p)
Cerința, pe scurt: Determinați a > 1 pentru care ∫₁ᵃ 2x · f(x²) / (x² + 1) dx = e(e³ − 1).
Ce se cere: Simplifici integrandul, recunoști o derivată compusă, rezolvi o ecuație exponențială.
Noțiuni: f(x²) = e^(x²)(x² + 1) · (e^(x²))' = 2x · e^(x²) · injectivitatea funcției exponențiale
Rezolvare pas cu pas
- f(x²) = e^(x²) · (x² + 1), deci 2x · f(x²) / (x² + 1) = 2x · e^(x²).
- 2x · e^(x²) este derivata lui e^(x²), deci integrala este e^(x²) |₁ᵃ = e^(a²) − e.
- e^(a²) − e = e(e³ − 1) = e⁴ − e ⇒ e^(a²) = e⁴ ⇒ a² = 4.
- Cum a > 1, a = 2.
Răspuns final: a = 2
Verificare: SymPy calculează integrala ca funcție de a și rezolvă ecuația: singura soluție a > 1 este 2.
Greșeli frecvente
- Înlocuirea lui x² în f doar în exponent, uitând factorul (x² + 1).
- Păstrarea și a soluției a = −2, care nu respectă a > 1.
Nu e clar? Întreabă Meditatorul AI despre acest exercițiu
Necesită cont gratuit, cu un număr limitat de mesaje pe zi. AI-ul poate greși — rezolvarea verificată rămâne cea de pe această pagină.
Punctaj: Fiecare item valorează 5 puncte: 3 subiecte × 30 de puncte, plus 10 din oficiu. La bacalaureat se punctează orice rezolvare corectă, chiar dacă diferă de cea de mai jos.
Rezolvare originală MeditatiiDirect.ro, nu barem oficial. Ai găsit o greșeală? Semnalează-ne — o verificăm și o corectăm.
Rezolvări înrudite la matematică
Întrebări de la elevi
Nicio întrebare încă. Pune tu prima — răspundem în pagină.
Vrei explicația în direct?
Spune ce nu ți-a ieșit, iar profesorii de matematică îți trimit propuneri cu dată, oră și tarif.
Cere ofertă pentru matematică