Rezolvare BAC 2012 Matematică M2 (științe ale naturii) — Iunie–Iulie, varianta 5, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2012 la Matematică M2 (profil real, științele naturii, și filiera tehnologică), sesiunea iunie–iulie, varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $2^{-1} + 2^{-2} = 0{,}75$

$2^{-1} + 2^{-2} = \frac12 + \frac14 = \frac34 = 0{,}75.$

Barem: 3p + 2p.

2. Inecuația $\frac{2}{x-3} < 0$

Numărătorul $2 > 0$, deci fracția e negativă exact când $x - 3 < 0$.

Răspuns: $x \in (-\infty, 3)$. Barem: 3p + 2p.

3. Ecuația $\sqrt{x+2} = x + 2$

Condiție: $x \ge -2$ (și atunci și membrul drept e $\ge 0$). Ridicăm la pătrat:

$x + 2 = (x+2)^2 \iff (x+2)(x + 2 - 1) = 0 \iff (x+2)(x+1) = 0.$

Ambele soluții verifică: $\sqrt0 = 0$, $\sqrt1 = 1$.

Răspuns: $x \in \{-2, -1\}$. Barem: 1p + 2p + 2p.

4. Depozit de 900 lei, după un an 1008 lei; aflați $p$

Dobânda: $1008 - 900 = 108$ lei.

$\frac{p}{100}\cdot900 = 108 \iff 9p = 108 \iff p = 12.$

Răspuns: $p = 12\%$. Barem: 1p + 2p + 2p.

5. $B$ astfel încât $A(2,3)$ să fie mijlocul lui $OB$

$x_A = \dfrac{0 + x_B}{2} \Rightarrow x_B = 4$; $y_A = \dfrac{0 + y_B}{2} \Rightarrow y_B = 6$.

Răspuns: $B(4, 6)$. Barem: 3p + 2p.

6. Unghiul ascuțit $x$ cu $\frac{\sin x + 4\cos x}{\cos x} = 5$

$\sin x + 4\cos x = 5\cos x \iff \sin x = \cos x \iff \operatorname{tg} x = 1.$

Unghiul fiind ascuțit: $x = 45^\circ$. Barem: 1p + 2p + 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $H(x) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \ln x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}$, $x > 0$

a) $\det(H(x)) = 1$

Matrice superior triunghiulară cu diagonala $1, 1, 1$: $\det(H(x)) = 1$.

Barem: 4p + 1p.

b) $a > 0$ cu $H(x)\cdot H(a) = H(x)$ pentru orice $x > 0$

$H(x)\cdot H(a) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & \ln a + \ln x\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix} = H(xa).$

$H(xa) = H(x) \iff \ln a = 0 \iff a = 1$.

Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p + 2p.

c) $\det\big(H(1) + H(2) + \dots + H(2012)\big)$

$H(1) + \dots + H(2012) = \begin{pmatrix} 2012 & 0 & 0\\ 0 & 2012 & \ln1 + \ln2 + \dots + \ln2012\\ 0 & 0 & 2012\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2012 & 0 & 0\\ 0 & 2012 & \ln(2012!)\\ 0 & 0 & 2012\end{pmatrix}.$

Matrice superior triunghiulară, deci determinantul este $2012^3$.

Răspuns: $2012^3$. Barem: 3p + 2p.

2. $f = X^3 + 3X^2 - 3X - 1$, cu rădăcinile $x_1, x_2, x_3$

a) $f$ se divide cu $X - 1$

$f(1) = 1 + 3 - 3 - 1 = 0$, deci (Bézout) $X - 1 \mid f$. Barem: 3p + 2p.

b) $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$

Viète: $x_1 + x_2 + x_3 = -3$, $x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -3$.

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (-3)^2 - 2(-3) = 9 + 6 = 15.$

Barem: 1p + 1p + 3p.

c) $(2 - x_1)(2 - x_2)(2 - x_3) = 13$?

$f = (X - x_1)(X - x_2)(X - x_3)$, deci produsul cerut este $f(2) = 8 + 12 - 6 - 1 = 13$.

Răspuns: da, egalitatea este adevărată. Barem: 3p + 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = \sqrt x - \ln x$

a) $\lim\limits_{x\to4}\dfrac{f(x) - f(4)}{x - 4} = 0$

$f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt x} - \dfrac1x$. Limita este $f'(4) = \dfrac14 - \dfrac14 = 0$.

Barem: 2p + 2p + 1p.

b) $f$ crescătoare pe $(4, +\infty)$

$f'(x) = \frac{\sqrt x - 2}{2x}.$

Pentru $x > 4$, $\sqrt x > 2$, deci $f'(x) > 0$ și $f$ este crescătoare. Barem: 2p + 3p.

c) Asimptota verticală

$\lim\limits_{x\searrow0}(\sqrt x - \ln x) = 0 - (-\infty) = +\infty$.

Răspuns: $x = 0$. Barem: 3p + 2p.

2. $f(x) = xe^x$

a) $F(x) = xe^x - e^x + 2012$ este primitivă

$F'(x) = e^x + xe^x - e^x = xe^x = f(x).$

Barem: 3p + 2p.

b) $\displaystyle\int_1^e f(\ln x)\,dx$

$f(\ln x) = \ln x\cdot e^{\ln x} = x\ln x$. Prin părți:

$\int_1^e x\ln x\,dx = \frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e - \int_1^e\frac{x^2}{2}\cdot\frac1x\,dx = \frac{e^2}{2} - \frac{x^2}{4}\Big|_1^e = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}.$

Răspuns: $\dfrac{e^2 + 1}{4}$. Barem: 1p + 2p + 2p.

c) Volumul pentru $g(x) = \frac{f(x)}{x} = e^x$ pe $[1,2]$

$V = \pi\int_1^2 e^{2x}\,dx = \pi\frac{e^{2x}}{2}\Big|_1^2 = \frac{\pi(e^4 - e^2)}{2} = \frac{\pi e^2(e^2 - 1)}{2}.$

Barem: 2p + 2p + 1p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$x \in (-\infty, 3)$
I.3	$x \in \{-2, -1\}$
I.4	$p = 12$
I.5	$B(4, 6)$
I.6	$x = 45^\circ$
II.1.b	$a = 1$
II.1.c	$2012^3$
II.2.b	$15$
II.2.c	da, $f(2) = 13$
III.1.c	$x = 0$
III.2.b	$\frac{e^2+1}{4}$
III.2.c	$\frac{\pi e^2(e^2-1)}{2}$

Ce merită reținut din varianta 5

• $\prod(a - x_i) = f(a)$ pentru un polinom monic cu rădăcinile $x_i$ — fără Viète.
• Matricele $H(x)$ cu $\ln x$: $H(x)H(y) = H(xy)$, iar suma logaritmilor devine $\ln$ de produs.
• Determinantul unei matrice triunghiulare = produsul diagonalei.
• $e^{\ln x} = x$ simplifică $f(\ln x)$.