Rezolvare BAC 2026 Matematică M2 (științe ale naturii) — Iunie–Iulie, varianta 3, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2026 la Matematică M_șt-nat, sesiunea iunie–iulie, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $(4{,}9 - 3{,}4) : 3 + 2{,}5 = 3$

Respectăm ordinea operațiilor: întâi paranteza, apoi împărțirea, la final adunarea.

$4{,}9 - 3{,}4 = 1{,}5, \qquad 1{,}5 : 3 = 0{,}5, \qquad 0{,}5 + 2{,}5 = 3.$

Barem: 2p calculul parantezei, 3p finalizarea.

2. Funcția $f(x) = 2x - 21$: determinați $a$ pentru care $A(-3a, a)$ aparține graficului

Un punct $(x_0, y_0)$ aparține graficului lui $f$ dacă și numai dacă $f(x_0) = y_0$. Deci condiția este $f(-3a) = a$:

$2(-3a) - 21 = a \iff -6a - 21 = a \iff -7a = 21 \iff a = -3.$

Verificare: $A(9, -3)$ și $f(9) = 18 - 21 = -3$ ✔.

Răspuns: $a = -3$. Barem: 2p condiția $f(-3a) = a$, 3p rezolvarea.

3. Ecuație logaritmică: $\log_7(1 + 2x - x^2) = \log_7(3 - x)$

Condiții de existență: argumentele logaritmilor trebuie să fie strict pozitive: $1 + 2x - x^2 > 0$ și $3 - x > 0$.

Funcția $\log_7$ este injectivă, deci egalitatea logaritmilor implică egalitatea argumentelor:

$1 + 2x - x^2 = 3 - x \iff x^2 - 3x + 2 = 0 \iff (x - 1)(x - 2) = 0,$

cu soluțiile $x_1 = 1$, $x_2 = 2$.

Verificare (e suficient să fie pozitiv un argument, celălalt fiind egal cu el):

• $x = 1$: $3 - 1 = 2 > 0$ și $1 + 2 - 1 = 2$ ✔;
• $x = 2$: $3 - 2 = 1 > 0$ și $1 + 4 - 4 = 1$ ✔.

Răspuns: $x \in \{1, 2\}$. Barem: 2p ecuația de gradul al II-lea, 3p soluțiile, cu precizarea că ele convin.

4. Probabilitatea ca un număr natural de două cifre să fie multiplu impar de 11

Cazuri posibile: numerele de două cifre sunt $10, 11, \dots, 99$, adică $99 - 10 + 1 = 90$ de numere.

Cazuri favorabile: multiplii de 11 de două cifre sunt $11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99$; dintre aceștia sunt impari $11, 33, 55, 77, 99$ — deci $5$ cazuri favorabile.

$p = \frac{5}{90} = \frac{1}{18}.$

Răspuns: $p = \dfrac{1}{18}$. Barem: 2p cazurile posibile, 3p cazurile favorabile și probabilitatea.

5. $A(0,5)$, $B(2,0)$, $C(4,2)$, $D$ mijlocul lui $BC$: arătați că triunghiul $ADC$ este isoscel

Mijlocul lui $BC$: $D\left(\dfrac{2 + 4}{2}, \dfrac{0 + 2}{2}\right) = D(3, 1)$.

Calculăm laturile din $A$:

$AD = \sqrt{(3 - 0)^2 + (1 - 5)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5, \qquad AC = \sqrt{(4 - 0)^2 + (2 - 5)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5.$

Cum $AD = AC = 5$, triunghiul $ADC$ este isoscel (cu baza $DC$; pentru completare, $DC = \sqrt{1 + 1} = \sqrt2 \ne 5$).

Barem: 3p coordonatele lui $D$ și $AD = 5$, 2p $AC = 5$ și concluzia.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $\operatorname{tg} B = \dfrac13$, aria $24$: arătați că $AC = 4$

Într-un triunghi dreptunghic, tangenta unui unghi ascuțit este cateta opusă supra cateta alăturată. Pentru unghiul $B$: cateta opusă este $AC$, cea alăturată $AB$:

$\operatorname{tg} B = \frac{AC}{AB} = \frac13 \Rightarrow AB = 3AC.$

Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor:

$\frac{AB \cdot AC}{2} = 24 \Rightarrow \frac{3AC^2}{2} = 24 \Rightarrow AC^2 = 16 \Rightarrow AC = 4$

(lungimea este pozitivă). Barem: 2p relația $AB = 3AC$, 3p folosirea ariei și concluzia.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $A(a) = \begin{pmatrix} 2a + 2 & -a \\ a - 3 & 1 \end{pmatrix}$, $a \in \mathbb R$

a) $\det(A(1)) = 2$

$A(1) = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}, \qquad \det(A(1)) = 4 \cdot 1 - (-1)\cdot(-2) = 4 - 2 = 2.$

Barem: 3p scrierea matricei și a determinantului, 2p calculul.

b) $x$ real cu $A(0)\cdot\left(6I_2 - A(2) - A(-2)\right) = xI_2$

Calculăm matricele:

$A(0) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}, \quad A(2) = \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad A(-2) = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -5 & 1 \end{pmatrix}.$

$A(2) + A(-2) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ -6 & 2 \end{pmatrix}$, deci

$6I_2 - A(2) - A(-2) = \begin{pmatrix} 6 - 4 & 0 \\ 6 & 6 - 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix}.$

Produsul:

$A(0)\cdot\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\cdot2 + 0\cdot6 & 0 \\ -3\cdot2 + 1\cdot6 & 1\cdot4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = 4I_2.$

Din $4I_2 = xI_2$ rezultă $x = 4$.

Răspuns: $x = 4$. Barem: 3p calculul matricelor și al produsului, 2p valoarea lui $x$.

c) Matricea $X$ cu $A(1)\cdot X\cdot A(1) = 4I_2$

Din a), $\det(A(1)) = 2 \ne 0$, deci $A(1)$ este inversabilă. Înmulțim egalitatea la stânga și la dreapta cu $(A(1))^{-1}$:

$X = 4\,(A(1))^{-1}\cdot(A(1))^{-1}.$

Inversa: pentru $\begin{pmatrix} p & q \\ r & s \end{pmatrix}$ cu determinant $d \ne 0$, inversa este $\dfrac1d\begin{pmatrix} s & -q \\ -r & p \end{pmatrix}$:

$(A(1))^{-1} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 & \frac12 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}.$

Atunci

$X = 4\cdot\frac14\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 2 & 1 + 4 \\ 2 + 8 & 2 + 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 10 & 18 \end{pmatrix}.$

Verificare: $A(1)\cdot X = \begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}$, iar $\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 4 & 8 \end{pmatrix}A(1) = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ ✔.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 10 & 18 \end{pmatrix}$. Barem: 2p exprimarea lui $X$ cu inversa, 3p calculul inversei și al lui $X$. Atenție: înmulțirea matricelor nu e comutativă — inversa se pune o dată la stânga și o dată la dreapta, nu „se împarte” cu $A(1)^2$.

2. Polinomul $f = X^3 - aX + 2 + a$, $a \in \mathbb R$

a) $f(1) = 3$ pentru orice $a$

$f(1) = 1^3 - a\cdot 1 + 2 + a = 1 + 2 = 3,$

termenii cu $a$ se reduc, deci rezultatul nu depinde de $a$. Barem: 3p înlocuirea, 2p finalizarea.

b) $a$ pentru care $f$ este divizibil cu $g = X + 2$

Din teorema lui Bézout, $f$ este divizibil cu $X + 2 = X - (-2)$ dacă și numai dacă $f(-2) = 0$:

$f(-2) = -8 + 2a + 2 + a = 3a - 6 = 0 \iff a = 2.$

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p calculul lui $f(-2)$, 2p valoarea lui $a$.

c) $a$ pentru care $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3$

Relațiile lui Viète pentru $X^3 + 0\cdot X^2 - aX + (2 + a)$:

$x_1 + x_2 + x_3 = 0, \qquad x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = -a.$

Suma cuburilor: fiecare rădăcină verifică $f(x_k) = 0$, adică $x_k^3 = ax_k - 2 - a$. Adunând pentru $k = 1, 2, 3$:

$x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 = a(x_1 + x_2 + x_3) - 3(2 + a) = a\cdot 0 - 6 - 3a = -3a - 6.$

Condiția devine $-3a - 6 = -a \iff -2a = 6 \iff a = -3$.

Răspuns: $a = -3$. Barem: 2p relațiile lui Viète, 3p suma cuburilor și valoarea lui $a$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\mathbb R \to \mathbb R$, $f(x) = e^x(2x^2 - 3x)$

a) $f'(x) = e^x(2x + 3)(x - 1)$

Regula produsului $(uv)' = u'v + uv'$, cu $u = e^x$, $v = 2x^2 - 3x$:

$f'(x) = e^x(2x^2 - 3x) + e^x(4x - 3) = e^x(2x^2 + x - 3).$

Descompunem trinomul: rădăcinile lui $2x^2 + x - 3$ sunt $x = 1$ și $x = -\dfrac32$, deci $2x^2 + x - 3 = (2x + 3)(x - 1)$. Așadar $f'(x) = e^x(2x + 3)(x - 1)$, $x \in \mathbb R$.

Barem: 3p derivarea, 2p forma finală.

b) $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f(x) - x}{f(x) + x} = 2$

Pentru $x \to 0$: $f(0) = 0$, deci numărătorul și numitorul tind la $0$ — nedeterminare $\frac00$. Aplicăm regula lui l'Hôpital:

$\lim_{x\to0}\frac{f(x) - x}{f(x) + x} = \lim_{x\to0}\frac{f'(x) - 1}{f'(x) + 1} = \lim_{x\to0}\frac{e^x(2x + 3)(x - 1) - 1}{e^x(2x + 3)(x - 1) + 1}.$

Cum $f'(0) = 1\cdot 3\cdot(-1) = -3$:

$\frac{-3 - 1}{-3 + 1} = \frac{-4}{-2} = 2.$

Barem: 2p aplicarea regulii lui l'Hôpital, 3p calculul limitei.

c) $a$ pentru care tangenta în punctul de abscisă $a$ are panta $0$

Panta tangentei la grafic în punctul de abscisă $a$ este $f'(a)$. Condiția:

$f'(a) = 0 \iff e^a(2a + 3)(a - 1) = 0.$

Cum $e^a > 0$ pentru orice $a$, rămâne $(2a + 3)(a - 1) = 0$, deci $a = -\dfrac32$ sau $a = 1$.

Răspuns: $a \in \left\{-\dfrac32, 1\right\}$. Barem: 3p condiția $f'(a) = 0$, 2p valorile lui $a$.

2. $f:(-1, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = (2x^2 + 4x)\sqrt{x + 1}$

a) $\displaystyle\int_0^3 \frac{f(x)}{\sqrt{x + 1}}\,dx = 36$

Radicalul se simplifică: $\dfrac{f(x)}{\sqrt{x + 1}} = 2x^2 + 4x$.

$\int_0^3 (2x^2 + 4x)\,dx = \left(\frac{2x^3}{3} + 2x^2\right)\Big|_0^3 = \frac{2\cdot27}{3} + 2\cdot 9 = 18 + 18 = 36.$

Barem: 3p primitiva, 2p calculul.

b) $\displaystyle\int_3^8 \frac{x^2 + 2x}{f(x)}\,dx = 1$

Observăm că $2x^2 + 4x = 2(x^2 + 2x)$, deci

$\frac{x^2 + 2x}{f(x)} = \frac{x^2 + 2x}{2(x^2 + 2x)\sqrt{x + 1}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}$

(pe $[3, 8]$ avem $x^2 + 2x > 0$, deci simplificarea e permisă). Cum $\left(\sqrt{x + 1}\right)' = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 1}}$:

$\int_3^8 \frac{1}{2\sqrt{x + 1}}\,dx = \sqrt{x + 1}\,\Big|_3^8 = \sqrt9 - \sqrt4 = 3 - 2 = 1.$

Barem: 3p simplificarea și primitiva, 2p calculul.

c) Aria de sub graficul lui $g(x) = \dfrac{4\sqrt{x + 1}}{f(x)}$, între $x = 1$ și $x = 4$

Simplificăm: $g(x) = \dfrac{4\sqrt{x + 1}}{2x(x + 2)\sqrt{x + 1}} = \dfrac{2}{x(x + 2)}$, $x > 0$. Pe $[1, 4]$ avem $g(x) > 0$, deci

$\mathcal A = \int_1^4 |g(x)|\,dx = \int_1^4 \frac{2}{x(x + 2)}\,dx.$

Descompunere în fracții simple: $\dfrac{2}{x(x + 2)} = \dfrac1x - \dfrac{1}{x + 2}$ (verificare: $\dfrac{(x + 2) - x}{x(x + 2)} = \dfrac{2}{x(x + 2)}$ ✔).

$\mathcal A = \left(\ln x - \ln(x + 2)\right)\Big|_1^4 = (\ln 4 - \ln 6) - (\ln 1 - \ln 3) = \ln\frac{4\cdot 3}{6} = \ln 2.$

Răspuns: $\mathcal A = \ln 2$. Barem: 3p scrierea ariei și descompunerea, 2p calculul final.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$3$
I.2	$a = -3$
I.3	$x \in \{1, 2\}$
I.4	$p = \tfrac{1}{18}$
I.5	$AD = AC = 5$
I.6	$AC = 4$
II.1.b	$x = 4$
II.1.c	$X = \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 10 & 18 \end{pmatrix}$
II.2.b	$a = 2$
II.2.c	$a = -3$
III.1.c	$a \in \{-\tfrac32, 1\}$
III.2.c	$\ln 2$

Ce merită reținut din varianta 3

• Ecuații logaritmice: egalează argumentele, apoi verifică obligatoriu că sunt pozitive.
• Ecuații matriceale $AXA = B$: $X = A^{-1}BA^{-1}$ — ordinea factorilor contează.
• Suma puterilor rădăcinilor: înlocuiește fiecare rădăcină în polinom și adună; combini apoi cu Viète.
• Integrale cu radicali: caută întâi simplificarea; $\dfrac{1}{2\sqrt{x+1}}$ este derivata lui $\sqrt{x+1}$.