Integrale - Primitive și Metode de Calcul

Ce este o Primitivă?

Funcția F(x) este primitiva lui f(x) dacă F'(x) = f(x).

Notație: ∫f(x)dx = F(x) + C

Primitive de Bază

Reguli de Integrare

1. Liniaritate

∫(af + bg)dx = a∫f dx + b∫g dx

2. Integrare prin părți

∫u·v'dx = u·v - ∫u'·v dx

3. Substituție

∫f(g(x))·g'(x)dx = ∫f(t)dt, unde t = g(x)

Exemple Rezolvate

Ex 1: ∫(3x² + 2x - 5)dx = x³ + x² - 5x + C

Ex 2: ∫x·e^x dx (prin părți)

• •u = x, v' = e^x
• •u' = 1, v = e^x
• •= x·e^x - ∫e^x dx = x·e^x - e^x + C = e^x(x-1) + C

Ex 3: ∫2x·e^(x²) dx (substituție)

• •t = x², dt = 2x dx
• •= ∫e^t dt = e^t + C = e^(x²) + C

Integrala Definită

∫[a,b] f(x)dx = F(b) - F(a)

Exemplu

∫[0,2] x² dx = [x³/3]₀² = 8/3 - 0 = 8/3

Aplicații

1. •Aria sub grafic: A = ∫[a,b] f(x)dx
2. •Volumul corpului de rotație: V = π∫[a,b] f²(x)dx

Exerciții

1. •Calculează: ∫(x³ - 2x + 1)dx
2. •Calculează prin părți: ∫x·ln(x)dx
3. •Calculează: ∫[1,e] 1/x dx

---

Pregătește-te pentru BAC cu un profesor de matematică experimentat!