Progresii Aritmetice și Geometrice
Formule și probleme cu progresii: termenul general, suma termenilor, proprietăți.
Progresii Aritmetice și Geometrice
Progresia Aritmetică
Definiție: Șir în care diferența dintre doi termeni consecutivi este constantă (rația r).
Formule
Termenul general: aₙ = a₁ + (n-1)·r
Suma primilor n termeni: Sₙ = n(a₁ + aₙ)/2 = n·a₁ + n(n-1)r/2
Rația: r = aₙ₊₁ - aₙ = (aₙ - a₁)/(n-1)
Proprietăți
- •aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁)/2 (media aritmetică)
- •Suma primilor n numere naturale: n(n+1)/2
Exemple
Ex 1: Găsește al 10-lea termen pentru a₁=3, r=2
- •a₁₀ = 3 + 9·2 = 21
Ex 2: Calculează suma primilor 100 de numere naturale
- •S₁₀₀ = 100·101/2 = 5050
Progresia Geometrică
Definiție: Șir în care raportul dintre doi termeni consecutivi este constant (rația q).
Formule
Termenul general: bₙ = b₁ · qⁿ⁻¹
Suma primilor n termeni (q ≠ 1): Sₙ = b₁(qⁿ - 1)/(q - 1)
Rația: q = bₙ₊₁/bₙ
Proprietăți
- •bₙ² = bₙ₋₁ · bₙ₊₁ (media geometrică)
- •|q| < 1 ⟹ lim Sₙ = b₁/(1-q)
Exemple
Ex 1: Găsește al 5-lea termen pentru b₁=2, q=3
- •b₅ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162
Ex 2: Suma primilor 6 termeni cu b₁=1, q=2
- •S₆ = 1·(2⁶-1)/(2-1) = 63
Comparație
| Aritmetică | Geometrică | |
|---|---|---|
| Relație | aₙ₊₁ = aₙ + r | bₙ₊₁ = bₙ · q |
| Termen general | a₁ + (n-1)r | b₁ · qⁿ⁻¹ |
| Proprietate | Media aritmetică | Media geometrică |
Exerciții
- •Găsește a₁₅ pentru progresia 2, 5, 8, 11, ...
- •Calculează suma primilor 10 termeni: 1, 2, 4, 8, ...
- •Determină r dacă a₁=7 și a₇=31
Găsește un profesor de matematică pentru meditații personalizate!
Tutorialul te-a ajutat?
Dacă ai nevoie de ajutor personalizat, găsește un profesor calificat pentru meditații
