Rezolvare BAC Matematică 2024 — Sesiunea specială

Salutare! Numele meu este [Nume Profesor], și cu o experiență de peste 20 de ani în pregătirea elevilor pentru examenul de Bacalaureat la Matematică, sunt aici să te ghidez pas cu pas în rezolvarea subiectelor de la sesiunea specială din 2024. Vom descompune fiecare problemă, vom explica logica din spatele fiecărui pas și ne vom asigura că înțelegi nu doar *cum* se rezolvă, ci și *de ce* se rezolvă așa.

Această variantă este una echilibrată, acoperind noțiuni esențiale din materie. Subiectul I testează cunoștințele de bază, Subiectul al II-lea se concentrează pe algebră (matrice și legi de compoziție), iar Subiectul al III-lea abordează analiza matematică (derivate și integrale). Cu atenție și calm, vei vedea că poți obține un punctaj excelent!

Hai să începem aventura matematică! Ia o foaie și un pix și încearcă să rezolvi odată cu mine.

Subiectul I

Acest subiect valorează 30 de puncte și verifică noțiunile fundamentale din anii de liceu. Fiecare punct valorează 5 puncte.

1. Determinați termenul $a_3$ al unei progresii aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$ în care $a_1=2$ și rația $r=3$.

*De ce?* Problema verifică dacă știi formula termenului general al unei progresii aritmetice.

*Rezolvare:* Formula termenului general al unei progresii aritmetice este $a_n = a_1 + (n-1)r$. Noi trebuie să îl aflăm pe $a_3$. Înlocuim $n=3$, $a_1=2$ și $r=3$ în formulă: $a_3 = a_1 + (3-1)r = 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$.

2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 4x + 3$. Determinați numărul real $a$ pentru care punctul $A(a, 3)$ aparține graficului funcției $f$.

*De ce?* Trebuie să știi ce înseamnă ca un punct să aparțină graficului unei funcții.

*Rezolvare:* Un punct $A(x_0, y_0)$ aparține graficului funcției $f$ dacă și numai dacă $f(x_0) = y_0$. În cazul nostru, $x_0 = a$ și $y_0 = 3$. Punem condiția $f(a) = 3$. $a^2 - 4a + 3 = 3$ Scădem 3 din ambii membri: $a^2 - 4a = 0$ Dăm factor comun pe $a$: $a(a-4) = 0$ Avem două soluții posibile: $a=0$ sau $a-4=0$, adică $a=4$. Ambele sunt numere reale, deci convenabile.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_5(x-2) = 2$.

*De ce?* Această problemă testează cunoștințele despre ecuațiile logaritmice și condițiile de existență.

*Rezolvare:* Mai întâi, punem condiția de existență pentru logaritm: argumentul trebuie să fie strict pozitiv. $x-2 > 0 \implies x > 2$. Soluția noastră trebuie să respecte această condiție. Acum, rezolvăm ecuația. Aplicăm definiția logaritmului: $\log_b(A) = C \iff A = b^C$. $\log_5(x-2) = 2 \implies x-2 = 5^2$ $x-2 = 25$ $x = 27$ Verificăm dacă soluția respectă condiția de existență: $27 > 2$, ceea ce este adevărat. Deci, soluția este validă.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor egală cu 9.

*De ce?* Aici aplicăm formula probabilității și tehnici de numărare.

*Rezolvare:* Formula probabilității este $P = \frac{\text{număr cazuri favorabile}}{\text{număr cazuri posibile}}$. *Cazuri posibile:* Numerele naturale de două cifre sunt de la 10 la 99. Pentru a le număra, facem $99 - 10 + 1 = 90$ de numere. *Cazuri favorabile:* Numerele de două cifre cu cifra zecilor egală cu 9. Acestea sunt $90, 91, 92, ..., 99$. Sunt 10 astfel de numere. Calculăm probabilitatea: $P = \frac{10}{90} = \frac{1}{9}$.

5. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(2, 3)$ și $N(4, 1)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $MN$.

*De ce?* Problema verifică formula pentru coordonatele mijlocului unui segment.

*Rezolvare:* Fie $P(x_P, y_P)$ mijlocul segmentului $MN$. Formulele pentru coordonatele mijlocului sunt: $x_P = \frac{x_M + x_N}{2}$ $y_P = \frac{y_M + y_N}{2}$ Înlocuim cu coordonatele punctelor $M$ și $N$: $x_P = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$ $y_P = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$ Deci, coordonatele mijlocului sunt $(3, 2)$.

6. Arătați că $(\sin x + \cos x)^2 + (\sin x - \cos x)^2 = 2$, pentru orice număr real $x$.

*De ce?* Trebuie să folosești formule de calcul prescurtat și formula fundamentală a trigonometriei.

*Rezolvare:* Desfacem cele două paranteze folosind formulele $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ și $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$. $(\sin^2 x + 2\sin x \cos x + \cos^2 x) + (\sin^2 x - 2\sin x \cos x + \cos^2 x) =$ Reducem termenii $2\sin x \cos x$ și $-2\sin x \cos x$: $= \sin^2 x + \cos^2 x + \sin^2 x + \cos^2 x$ Folosim formula fundamentală a trigonometriei, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$: $= 1 + 1 = 2$ Am demonstrat că expresia este egală cu 2, pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

Subiectul al II-lea

Acest subiect se concentrează pe algebră și valorează 30 de puncte.

1. Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$.

a) Arătați că $det(A-I_2) = 0$. *Rezolvare:* Mai întâi calculăm matricea $A-I_2$. $A - I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 2-0 \\ 0-0 & 1-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$. Acum calculăm determinantul acestei matrice. Pentru o matrice $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, determinantul este $ad-bc$. $det(A-I_2) = 0 \cdot 0 - 2 \cdot 0 = 0$.

b) Determinați numărul real $m$ pentru care $A \cdot A = m A - I_2$. *Rezolvare:* Calculăm $A \cdot A$ (sau $A^2$): $A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 \\ 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Acum calculăm expresia din dreapta, $m A - I_2$: $m A - I_2 = m \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m & 2m \\ 0 & m \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m-1 & 2m \\ 0 & m-1 \end{pmatrix}$. Egalăm cele două matrice obținute: $\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m-1 & 2m \\ 0 & m-1 \end{pmatrix}$. Din egalitatea matricelor, egalăm elementele corespunzătoare: $1 = m-1 \implies m=2$ $4 = 2m \implies m=2$ $0=0$ (adevărat) $1 = m-1 \implies m=2$ Toate ecuațiile dau aceeași soluție, $m=2$. Deci, valoarea căutată este $m=2$.

c) Arătați că $det(x A + I_2) > 0$ pentru orice $x > -1/4$. *Rezolvare:* Calculăm matricea $x A + I_2$: $x A + I_2 = x \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x & 2x \\ 0 & x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+1 & 2x \\ 0 & x+1 \end{pmatrix}$. Calculăm determinantul acestei matrice: $det(x A + I_2) = (x+1)(x+1) - 2x \cdot 0 = (x+1)^2$. Trebuie să arătăm că $(x+1)^2 > 0$ pentru $x > -1/4$. Știm că pătratul oricărui număr real nenul este strict pozitiv. Expresia $(x+1)^2$ este egală cu zero doar dacă $x+1=0$, adică $x=-1$. Condiția din enunț este $x > -1/4$. Deoarece $-1/4 > -1$, intervalul $(-1/4, \infty)$ nu conține valoarea $-1$. Prin urmare, pentru orice $x > -1/4$, $x+1$ nu este zero, deci $(x+1)^2$ este strict pozitiv. Inegalitatea este demonstrată.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = xy - 4x - 4y + 20$.

**a) Arătați că $5 * 4 = 4$.** *Rezolvare:* Înlocuim $x=5$ și $y=4$ în definiția legii de compoziție. $5 * 4 = 5 \cdot 4 - 4 \cdot 5 - 4 \cdot 4 + 20 = 20 - 20 - 16 + 20 = 4$.

**b) Arătați că $x * y = (x-4)(y-4) + 4$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.** *Rezolvare:* Desfacem parantezele din expresia dată și verificăm dacă obținem forma inițială a legii. $(x-4)(y-4) + 4 = x \cdot y - 4x - 4y + (-4)(-4) + 4 = xy - 4x - 4y + 16 + 4 = xy - 4x - 4y + 20$. Am obținut exact forma inițială a legii $x*y$, deci egalitatea este demonstrată.

**c) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x * x \le 5$.** *Rezolvare:* Folosim forma restrânsă a legii de la punctul b) pentru a calcula $x*x$. $x*x = (x-4)(x-4) + 4 = (x-4)^2 + 4$. Acum rezolvăm inecuația: $(x-4)^2 + 4 \le 5$ Scădem 4 din ambii membri: $(x-4)^2 \le 1$ Aceasta este echivalentă cu $|x-4| \le 1$, ceea ce înseamnă: $-1 \le x-4 \le 1$ Adunăm 4 în toate părțile inegalității duble: $-1 + 4 \le x \le 1 + 4$ $3 \le x \le 5$ Soluția este intervalul închis $[3, 5]$.

Subiectul al III-lea

Acest subiect abordează analiza matematică și valorează 30 de puncte.

1. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x) = x^3 - 3x + 5$.

a) Arătați că $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$. *Rezolvare:* Calculăm derivata funcției $f(x)$ folosind regulile de derivare. $(x^n)' = nx^{n-1}$ și $(c)'=0$. $f'(x) = (x^3)' - (3x)' + (5)' = 3x^2 - 3 + 0 = 3x^2 - 3$. Dăm factor comun pe 3: $f'(x) = 3(x^2 - 1)$. Folosim formula de calcul prescurtat $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$: $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$. Demonstrația este completă.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=2$. *Rezolvare:* Ecuația tangentei la grafic în punctul $(x_0, f(x_0))$ este $y - f(x_0) = f'(x_0)(x-x_0)$. În cazul nostru, $x_0 = 2$. Calculăm $f(2) = 2^3 - 3 \cdot 2 + 5 = 8 - 6 + 5 = 7$. Punctul de pe grafic este $(2, 7)$. Calculăm $f'(2)$ folosind formula de la punctul a). $f'(2) = 3(2-1)(2+1) = 3 \cdot 1 \cdot 3 = 9$. Panta tangentei este 9. Scriem ecuația tangentei: $y - 7 = 9(x-2)$ $y - 7 = 9x - 18$ $y = 9x - 11$.

c) Arătați că $f(x) \ge 3$ pentru orice $x \ge -1$. *Rezolvare:* Pentru a studia monotonia funcției și a găsi valorile extreme, analizăm semnul derivatei $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$. Rădăcinile derivatei sunt $x_1=-1$ și $x_2=1$. Acestea sunt punctele critice. $f'(x)$ este o funcție de gradul al doilea cu coeficientul dominant pozitiv ($3 > 0$), deci are semn pozitiv în afara rădăcinilor și semn negativ între rădăcini.

• Pentru $x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, $f'(x) > 0$, deci $f$ este strict crescătoare.
• Pentru $x \in (-1, 1)$, $f'(x) < 0$, deci $f$ este strict descrescătoare.

Enunțul ne cere să analizăm funcția pe intervalul $[-1, \infty)$.

• Pe intervalul $[-1, 1]$, funcția este strict descrescătoare.
• Pe intervalul $[1, \infty)$, funcția este strict crescătoare.

Asta înseamnă că în punctul $x=1$, funcția atinge un minim local. Să calculăm valoarea acestui minim: $f(1) = 1^3 - 3 \cdot 1 + 5 = 1 - 3 + 5 = 3$. Deoarece pentru $x \ge -1$, funcția mai întâi descrește de la $f(-1)$ la $f(1)=3$ și apoi crește de la $f(1)=3$ la infinit, valoarea minimă a funcției pe întregul interval $[-1, \infty)$ este 3, atinsă în $x=1$. Prin urmare, $f(x) \ge f(1)$ pentru orice $x \ge -1$, adică $f(x) \ge 3$.

2. Se consideră funcția $f: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x) = x + \frac{1}{x}$.

a) Arătați că $\int_{1}^{2} (f(x) - \frac{1}{x}) dx = \frac{3}{2}$. *Rezolvare:* Mai întâi, simplificăm expresia de integrat. $f(x) - \frac{1}{x} = (x + \frac{1}{x}) - \frac{1}{x} = x$. Acum calculăm integrala definită: $\int_{1}^{2} x dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \frac{2^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. Egalitatea este demonstrată.

b) Calculați $\int_{1}^{e} (f(x) - x) \ln x dx$. *Rezolvare:* Simplificăm expresia de sub integrală. $f(x) - x = (x + \frac{1}{x}) - x = \frac{1}{x}$. Integrala devine: $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \ln x dx$. Aceasta este o integrală clasică, care se poate rezolva prin schimbare de variabilă. Notăm $u = \ln x$. Atunci $du = \frac{1}{x} dx$. Trebuie să schimbăm și capetele de integrare:

• Când $x=1$, $u = \ln 1 = 0$.
• Când $x=e$, $u = \ln e = 1$.

Integrala devine: $\int_{0}^{1} u du = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{1}{2}$.

c) Determinați numărul real $a > 1$ pentru care aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g: (0, \infty) \to \mathbb{R}, g(x)=f(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=a$ este egală cu $4 + \ln a$. *Rezolvare:* Aria cerută se calculează cu ajutorul integralei definite: $A = \int_{1}^{a} |g(x)| dx$. Pe intervalul $(0, \infty)$, $x>0$ și $1/x>0$, deci $g(x) = f(x) = x + 1/x > 0$. Astfel, $|g(x)| = g(x)$. $A = \int_{1}^{a} (x + \frac{1}{x}) dx$. Calculăm integrala: $\int (x + \frac{1}{x}) dx = \int x dx + \int \frac{1}{x} dx = \frac{x^2}{2} + \ln|x|$. Aplicăm formula Leibniz-Newton: $A = \left[ \frac{x^2}{2} + \ln x \right]_{1}^{a} = (\frac{a^2}{2} + \ln a) - (\frac{1^2}{2} + \ln 1) = \frac{a^2}{2} + \ln a - \frac{1}{2} - 0 = \frac{a^2-1}{2} + \ln a$. Ni se spune că această arie este egală cu $4 + \ln a$. Egalăm cele două expresii: $\frac{a^2-1}{2} + \ln a = 4 + \ln a$. Reducem termenul $\ln a$: $\frac{a^2-1}{2} = 4$ $a^2-1 = 8$ $a^2 = 9$ Cum $a$ este un număr real, avem soluțiile $a=3$ sau $a=-3$. Enunțul specifică $a > 1$, deci singura soluție convenabilă este $a=3$.

Subiectul I:

1. $a_3 = 8$
2. $a=0$ sau $a=4$
3. $x=27$
4. $P = 1/9$
5. Coordonatele mijlocului: $(3, 2)$
6. Demonstrație prin calcul direct.

Subiectul al II-lea:

1. a) $det(A-I_2)=0$; b) $m=2$; c) Demonstrație bazată pe $det(xA+I_2)=(x+1)^2 > 0$ pentru $x > -1/4$.
2. a) $5*4=4$; b) Demonstrație prin desfacerea parantezelor; c) $x \in [3, 5]$.

Subiectul al III-lea:

1. a) Demonstrație prin derivare; b) $y=9x-11$; c) Demonstrație folosind tabloul de variație.
2. a) $\int_{1}^{2} x dx = 3/2$; b) $1/2$; c) $a=3$.

*Notă: Aceste subiecte sunt tipice pentru programa de Bacalaureat Matematică M_tehnologic din 2024 și respectă modelul oficial. Rezolvarea este conformă cu cerințele Ministerului Educației.*

• Subiectul I.3: Omiterea condiției de existență pentru logaritm ($x-2>0$). Chiar dacă în acest caz soluția se potrivește, în alte probleme puteți pierde puncte importante.
• Subiectul I.4: Numărarea greșită a cazurilor posibile. Mulți elevi uită să adune 1 ($99-10+1$) sau consideră că sunt 100 de numere.
• Subiectul II.1.b: Greșeli de calcul la înmulțirea matricelor. Repetă această operație de câteva ori pentru a te asigura că o stăpânești.
• Subiectul II.2.c: Rezolvarea inecuației $(x-4)^2 \le 1$ ca $x-4 \le 1$, uitând de cazul negativ sau de proprietățile modulului. Corect este $-1 \le x-4 \le 1$.
• Subiectul III.1.c: Concluzia greșită din tabloul de variație. Este esențial să identifici corect minimul funcției pe intervalul dat și să nu te oprești doar la găsirea punctelor critice.
• Subiectul III.2.b: Dificultăți la integrarea prin părți sau schimbare de variabilă. Exersează aceste metode, sunt foarte frecvente la BAC.

Pentru a excela la examenul de Matematică, iată câteva sfaturi cheie:

1. Stăpânește formulele de bază: Progresii, funcția de gradul II, logaritmi, trigonometrie, geometrie analitică.
2. Exersează algebra matriceală: Înmulțirea și calculul determinantului sunt operații fundamentale pe care trebuie să le faci fără greșeală.
3. Înțelege legile de compoziție: Forma restrânsă (ca la II.2.b) este un truc des întâlnit care simplifică enorm calculele ulterioare.
4. Derivarea și studiul funcțiilor: Analiza semnului derivatei pentru a determina monotonia și punctele de extrem este esențială la Subiectul III.1.
5. Calcul integral: Fii sigur pe primitivele funcțiilor elementare și pe metodele de integrare (părți, schimbare de variabilă).

Mult succes la examen! Cu o pregătire serioasă și atenție la detalii în ziua testului, vei reuși cu siguranță!