Rezolvare BAC Matematică 2025 — Sesiunea specială

Salut! Suntem aici să te ghidăm pas cu pas în rezolvarea unui subiect de Bacalaureat la Matematică, profilul matematică-informatică, pentru sesiunea specială din 2025. Vom parcurge împreună fiecare exercițiu, explicând în detaliu logica din spatele fiecărei etape, pentru a te asigura că înțelegi nu doar *cum* se rezolvă, ci și *de ce* se aplică o anumită metodă.

Acest material este gândit să fie un ghid complet, de la calculele simple de la Subiectul I, până la demonstrațiile și problemele mai complexe de la Subiectele II și III. Ne vom concentra pe claritate, pe identificarea tiparelor de probleme și pe evitarea capcanelor frecvente. Hai să începem!

Ne apucăm de treabă cu răbdare și atenție. Fiecare punct valorează, așa că nu lăsăm nimic în urmă!

Subiectul I

1. (5p) Determinați partea reală a numărului complex $z = (2+i)^2 - 4i$.

• De ce: Problema testează cunoștințele de bază despre operațiile cu numere complexe și identificarea părții reale. Formula cheie este $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ și, desigur, $i^2 = -1$.
• Rezolvare: Mai întâi, ridicăm la pătrat: $(2+i)^2 = 2^2 + 2 \cdot 2 \cdot i + i^2 = 4 + 4i - 1 = 3 + 4i$.

Acum înlocuim în expresia lui $z$: $z = (3+4i) - 4i = 3$. Numărul $z=3$ poate fi scris ca $z=3+0 \cdot i$. Partea reală, notată $\text{Re}(z)$, este 3.

2. (5p) Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^2 - 5x + 4$. Determinați abscisele punctelor de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

• De ce: Intersecția cu axa $Ox$ (axa absciselor) are loc atunci când ordonata, adică $y$ sau $f(x)$, este zero. Problema se reduce la rezolvarea unei ecuații de gradul al doilea.
• Rezolvare: Egalăm $f(x)$ cu 0: $x^2 - 5x + 4 = 0$.

Calculăm discriminantul: $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9$. Rădăcinile sunt: $x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 3}{2}$. Obținem $x_1 = \frac{5-3}{2} = 1$ și $x_2 = \frac{5+3}{2} = 4$. Abscisele cerute sunt 1 și 4.

3. (5p) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_3(x-1) = \log_3(9-x)$.

• De ce: Aceasta este o ecuație logaritmică. Deoarece bazele logaritmilor sunt identice, putem egala argumentele, dar nu înainte de a pune condițiile de existență pentru logaritmi (argumentul trebuie să fie strict pozitiv).
• Rezolvare: Condițiile de existență (C.E.):
• $x-1 > 0 \Rightarrow x > 1$
• $9-x > 0 \Rightarrow x < 9$

Din ambele condiții, obținem că $x \in (1, 9)$. Acum rezolvăm ecuația propriu-zisă: $x-1 = 9-x \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x=5$. Verificăm dacă soluția respectă C.E.: $5 \in (1, 9)$, ceea ce este adevărat. Deci, $S = \{5\}$.

4. (5p) Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10.

• De ce: O problemă clasică de probabilitate. Formula este $P = \frac{\text{număr cazuri favorabile}}{\text{număr cazuri posibile}}$.
• Rezolvare:
• Cazuri posibile: numerele naturale de două cifre sunt de la 10 la 99. Numărul lor este $99 - 10 + 1 = 90$.
• Cazuri favorabile: numerele de două cifre divizibile cu 10. Acestea sunt: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Sunt 9 numere.
• Probabilitatea este $P = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.

5. (5p) În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2, 3)$ și $B(4, 1)$. Determinați ecuația mediatoarei segmentului $[AB]$.

• De ce: Mediatoarea unui segment este dreapta perpendiculară pe segment, care trece prin mijlocul acestuia. Avem nevoie de două lucruri: coordonatele mijlocului și panta dreptei AB pentru a găsi panta perpendicularei.
• Rezolvare:
• Calculăm mijlocul $M$ al segmentului $[AB]$: $M\left(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2}\right) = M\left(\frac{2+4}{2}, \frac{3+1}{2}\right) = M(3, 2)$.
• Calculăm panta dreptei $AB$: $m_{AB} = \frac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \frac{1-3}{4-2} = \frac{-2}{2} = -1$.
• Panta mediatoarei, $d$, este $m_d = -\frac{1}{m_{AB}} = -\frac{1}{-1} = 1$.
• Scriem ecuația dreptei $d$ care trece prin $M(3, 2)$ și are panta $m_d=1$: $y - y_M = m_d(x - x_M) \Rightarrow y - 2 = 1(x - 3) \Rightarrow y = x - 1$.

6. (5p) Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=4$, $AC=4$ și $BC=4\sqrt{2}$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic.

• De ce: Pentru a verifica dacă un triunghi este dreptunghic cunoscând laturile, cel mai direct mod este să folosim reciproca teoremei lui Pitagora. Verificăm dacă suma pătratelor catetelor este egală cu pătratul ipotenuzei.
• Rezolvare: Cea mai lungă latură este $BC=4\sqrt{2}$, deci aceasta ar fi ipotenuza. Verificăm relația:

$AB^2 + AC^2 = BC^2$ $4^2 + 4^2 = (4\sqrt{2})^2$ $16 + 16 = 16 \cdot 2$ $32 = 32$, ceea ce este adevărat. Conform reciprocei teoremei lui Pitagora, triunghiul $ABC$ este dreptunghic, cu unghiul drept în $A$.

Subiectul al II-lea

1. Se consideră matricea $A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este un număr real.

a) (5p) Arătați că $\det(A(x)) = 1$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

• Rezolvare: Matricea $A(x)$ este triunghiulară (are zerouri sub diagonala principală). Determinantul unei matrice triunghiulare este produsul elementelor de pe diagonala principală.

Astfel, $\det(A(x)) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$. Acest rezultat nu depinde de $x$, deci este valabil pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

b) (5p) Demonstrați că $A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$, pentru orice $x, y \in \mathbb{R}$.

• Rezolvare: Calculăm produsul a două matrice:

$A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 & x & x^2 \\ 0 & 1 & 2x \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & y & y^2 \\ 0 & 1 & 2y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 1\cdot1+x\cdot0+x^2\cdot0 & 1\cdot y+x\cdot1+x^2\cdot0 & 1\cdot y^2+x\cdot2y+x^2\cdot1 \\ 0 & 1 & 2x+2y \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 1 & x+y & y^2+2xy+x^2 \\ 0 & 1 & 2(x+y) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & x+y & (x+y)^2 \\ 0 & 1 & 2(x+y) \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$. Observăm că rezultatul este exact matricea $A(x+y)$, deci $A(x) \cdot A(y) = A(x+y)$.

c) (5p) Determinați numărul real $a$ pentru care $A(1) \cdot A(2) \cdot ... \cdot A(10) = A(a)$.

• Rezolvare: Folosim proprietatea de la punctul b).

$A(1) \cdot A(2) = A(1+2)$. $(A(1) \cdot A(2)) \cdot A(3) = A(1+2) \cdot A(3) = A(1+2+3)$. Prin inducție, $A(1) \cdot A(2) \cdot ... \cdot A(10) = A(1+2+...+10)$. Avem de calculat suma primilor 10 termeni ai unei progresii aritmetice (suma lui Gauss): $S = \frac{n(n+1)}{2} = \frac{10(10+1)}{2} = \frac{110}{2} = 55$. Deci, $A(1+2+...+10) = A(55)$. Prin urmare, $A(55) = A(a)$, de unde rezultă $a=55$.

1. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = xy - 4x - 4y + 20$.

a) **(5p) Arătați că $x * y = (x-4)(y-4) + 4$.**

• Rezolvare: Aceasta este o problemă de restructurare a expresiei. Por-nim de la forma $(x-4)(y-4)+4$ și o dezvoltăm:

$(x-4)(y-4) + 4 = x \cdot y - 4x - 4y + (-4)(-4) + 4 = xy - 4x - 4y + 16 + 4 = xy - 4x - 4y + 20$. Am obținut exact forma inițială a legii, deci egalitatea este adevărată.

b) **(5p) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „*”.**

• Rezolvare: Fie $e$ elementul neutru. Acesta trebuie să satisfacă relația $x * e = e * x = x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

Folosim forma restrânsă: $x * e = (x-4)(e-4) + 4 = x$. $(x-4)(e-4) = x - 4$. Pentru $x \neq 4$, putem simplifica prin $(x-4)$ și obținem $e-4=1 \Rightarrow e=5$. Verificăm și pentru $x=4$: $4*5 = (4-4)(5-4)+4 = 0 \cdot 1 + 4 = 4$. Deci, relația se confirmă. Elementul neutru este $e=5$.

c) **(5p) Calculați $1 * 2 * 3 * ... * 2025$.**

• Rezolvare: Acesta este un calcul aparent complicat, care ascunde o simplificare. De obicei, trebuie să căutăm un element "absorbant" sau un element care anulează totul.

Observăm ce se întâmplă dacă unul din termeni este 4: $x * 4 = (x-4)(4-4) + 4 = (x-4) \cdot 0 + 4 = 4$. La fel, $4 * y = (4-4)(y-4) + 4 = 0 \cdot (y-4) + 4 = 4$. Deci, 4 este un element "absorbant" (orice compus cu 4 dă 4). În șirul $1 * 2 * 3 * ... * 2025$, termenul 4 este prezent. Putem scrie șirul ca: $(1*2*3) * 4 * (5*...*2025)$. Notând $X = 1*2*3$ și $Y = 5*...*2025$, expresia devine $X * 4 * Y$. $X * 4 = 4$. Apoi $4 * Y = 4$. Rezultatul final este 4.

Subiectul al III-lea

1. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = e^x - x - 1$.

a) (5p) Calculați $f'(x)$ și arătați că funcția este descrescătoare pe $(-\infty, 0]$ și crescătoare pe $[0, \infty)$.

• Rezolvare: Calculăm derivata funcției: $f'(x) = (e^x)' - (x)' - (1)' = e^x - 1$.

Studiem semnul derivatei: $f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^x - 1 = 0 \Leftrightarrow e^x = 1 \Leftrightarrow x=0$. Pentru $x < 0$, avem $e^x < 1$, deci $f'(x) = e^x - 1 < 0$. Pe intervalul $(-\infty, 0)$, funcția este strict descrescătoare. Pentru $x > 0$, avem $e^x > 1$, deci $f'(x) = e^x - 1 > 0$. Pe intervalul $(0, \infty)$, funcția este strict crescătoare. Așadar, funcția este descrescătoare pe $(-\infty, 0]$ și crescătoare pe $[0, \infty)$.

b) (5p) Demonstrați că $e^x \ge x+1$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

• Rezolvare: Punctul a) ne arată că $x=0$ este un punct de minim global pentru funcția $f$.

Valoarea minimă a funcției este $f(0) = e^0 - 0 - 1 = 1 - 1 = 0$. Deoarece $f(0)$ este minimul, înseamnă că $f(x) \ge f(0)$ pentru orice $x \in \mathbb{R}$. Asta se traduce în $e^x - x - 1 \ge 0$, adică $e^x \ge x+1$. Aceasta este o inegalitate fundamentală în analiză.

c) (5p) Determinați ecuația asimptotei oblice spre $-\infty$ la graficul funcției $f$.

• Rezolvare: Căutăm o asimptotă de forma $y=mx+n$.

$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^x - x - 1}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left(\frac{e^x}{x} - 1 - \frac{1}{x}\right)$. Știm că $\lim_{x \to -\infty} e^x = 0$, deci $\lim_{x \to -\infty} \frac{e^x}{x} = \frac{0}{-\infty} = 0$. De asemenea, $\lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0$. Deci $m = 0 - 1 - 0 = -1$. $n = \lim_{x \to -\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to -\infty} (e^x - x - 1 - (-1)x) = \lim_{x \to -\infty} (e^x - x - 1 + x) = \lim_{x \to -\infty} (e^x - 1) = 0 - 1 = -1$. Ecuația asimptotei oblice spre $-\infty$ este $y = -x - 1$.

1. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{1}{x^2+1}$.

a) (5p) Calculați $\int_0^1 f(x) dx$.

• Rezolvare: Avem de calculat $\int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx$.

Aceasta este o integrală cunoscută: $\int \frac{1}{x^2+1} dx = \arctan(x) + C$. Deci, $\int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx = [\arctan(x)]_0^1 = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} - 0 = \frac{\pi}{4}$.

b) (5p) Calculați $\int_0^1 x \cdot f(x) dx$.

• Rezolvare: Integrala este $\int_0^1 \frac{x}{x^2+1} dx$.

Putem folosi o substituție. Fie $u = x^2+1$. Atunci $du = 2x dx$, deci $x dx = \frac{1}{2} du$. Schimbăm și capetele de integrare: dacă $x=0$, $u=0^2+1=1$. Dacă $x=1$, $u=1^2+1=2$. Integrala devine: $\int_1^2 \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int_1^2 \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\ln|u|]_1^2 = \frac{1}{2} (\ln 2 - \ln 1) = \frac{1}{2} \ln 2$.

c) (5p) Arătați că $\int_0^1 x^2 f(x) dx = 1 - \frac{\pi}{4}$.

• Rezolvare: Avem de calculat $I = \int_0^1 \frac{x^2}{x^2+1} dx$.

Putem rescrie fracția printr-un artificiu de calcul: $\frac{x^2}{x^2+1} = \frac{x^2+1-1}{x^2+1} = \frac{x^2+1}{x^2+1} - \frac{1}{x^2+1} = 1 - \frac{1}{x^2+1}$. Acum integrala se sparge în două părți mai simple: $I = \int_0^1 \left(1 - \frac{1}{x^2+1}\right) dx = \int_0^1 1 dx - \int_0^1 \frac{1}{x^2+1} dx$. Știm deja a doua integrală de la punctul a). $I = [x]_0^1 - \frac{\pi}{4} = (1-0) - \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{\pi}{4}$. Ceea ce trebuia demonstrat.

• Subiectul I: 1) 3; 2) 1 și 4; 3) $x=5$; 4) $1/10$; 5) $y=x-1$; 6) Reciproca T. Pitagora se verifică.
• Subiectul al II-lea: 1.a) $\det=1$; 1.b) Se demonstrează prin calcul direct; 1.c) $a=55$; 2.a) Se demonstrează prin desfacerea parantezelor; 2.b) $e=5$; 2.c) 4.
• Subiectul al III-lea: 1.a) $f'(x) = e^x-1$; 1.b) Se folosește punctul de minim $x=0$; 1.c) $y=-x-1$; 2.a) $\pi/4$; 2.b) $\frac{1}{2}\ln 2$; 2.c) Se demonstrează prin calcul.

• Subiectul I.3: Omiterea condițiilor de existență la ecuațiile logaritmice. Chiar dacă aici soluția se potrivea, în alte cazuri ar putea duce la răspunsuri greșite.
• Subiectul I.5: Confundarea ecuației mediatoarei cu ecuația medianei sau încurcarea formulei pentru panta dreptei perpendiculare ($m_2 = -1/m_1$).
• Subiectul II.1.c: Calcularea produsului de matrice în loc să se folosească relația de la punctul b). Ar fi o pierdere uriașă de timp.
• Subiectul II.2.c: Încercarea de a calcula efectiv produsul $1*2*...$ fără a observa proprietatea elementului "absorbant" $x*4=4$.
• Subiectul III.1.b: A nu face legătura cu monotonia și punctul de extrem de la subpunctul anterior. Problema este o consecință directă a acestora.
• Subiectul III.2.c: A nu observa artificiul de calcul $\frac{x^2}{x^2+1} = 1 - \frac{1}{x^2+1}$ și a încerca metode mult mai complicate, cum ar fi integrarea prin părți, care aici nu ar fi la fel de eficientă.

Am parcurs un model de subiect de Bacalaureat, acoperind toate aspectele importante ale programei: numere complexe, funcții, ecuații, probabilități, geometrie analitică, algebră liniară, legi de compoziție și analiză matematică (derivate și integrale).

Reține că succesul la BAC nu stă doar în cunoașterea formulelor, ci și în capacitatea de a face legături între diferitele părți ale materiei și de a recunoaște tiparele de probleme. Multe subpuncte se bazează pe cele anterioare, așa că citește mereu cu atenție întregul exercițiu. Exersează constant, fii atent la detalii și, cel mai important, nu te panica în fața unui calcul ce pare complicat – de cele mai multe ori, există o cale elegantă de a-l simplifica.

*Notă: Subiectele prezentate sunt tipice pentru programa de Bacalaureat, profilul matematică-informatică, și sunt conforme cu modelele oficiale. Acestea nu reprezintă varianta extrasă oficial în 2025, ci un exemplu relevant pentru pregătirea ta.* Mult succes!