Rezolvare BAC Matematică 2026 — Sesiunea august–septembrie

Salutare! Numele meu este... și sunt aici pentru a te ghida în rezolvarea unui subiect de Bacalaureat la Matematică, pentru profilul Științele Naturii. Ca profesor cu peste 20 de ani de experiență la catedră și în comisiile de examen, știu exact unde apar cele mai multe dificultăți și cum le poți depăși.

Astăzi vom parcurge împreună un subiect-tip pentru sesiunea de toamnă, august-septembrie 2026. Chiar dacă subiectul exact pentru acel an nu a fost încă publicat, vom rezolva o variantă care respectă întocmai programa oficială și nivelul de dificultate așteptat. Vom detalia fiecare punct, vom explica logica din spatele fiecărui pas și vom evidenția greșelile frecvente, pentru ca tu să fii perfect pregătit(ă).

Hai să începem!

Subiectul I

Acest subiect testează cunoștințele de bază, cele pe care le-ai acumulat de-a lungul anilor de liceu. Fiecare punct valorează 5 puncte și, cu puțină atenție, poți obține maximum de 30 de puncte aici.

1. Calculați termenul al treilea al unei progresii aritmetice $(a_n)_{n \ge 1}$, știind că $a_1=2$ și $a_2=5$.

• De ce? Această problemă verifică dacă știi definiția și proprietățile de bază ale progresiilor aritmetice.
• Rezolvare: Într-o progresie aritmetică, fiecare termen se obține din precedentul prin adunarea unei cantități constante, numită *rație* (notată cu $r$).

Putem calcula rația folosind primii doi termeni: $r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$. Acum, pentru a găsi termenul al treilea, $a_3$, adunăm rația la termenul al doilea, $a_2$: $a_3 = a_2 + r = 5 + 3 = 8$. Alternativ, am putea folosi formula termenului general $a_n = a_1 + (n-1)r$. Pentru $n=3$, avem: $a_3 = a_1 + (3-1)r = 2 + 2 \cdot 3 = 2 + 6 = 8$.

2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = x^2 - 4x + 3$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Oy$.

• De ce? Se testează înțelegerea modului în care graficul unei funcții interacționează cu sistemul de axe de coordonate.
• Rezolvare: Intersecția cu axa $Oy$ (axa ordonatelor) are loc atunci când coordonata $x$ este egală cu 0. Așadar, trebuie să calculăm valoarea funcției pentru $x=0$.

$f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 3 = 0 - 0 + 3 = 3$. Coordonatele punctului de intersecție sunt $(x, f(x))$, adică $(0, 3)$. Punctul este $A(0, 3)$.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\log_5(x-1) = 2$.

• De ce? Acest exercițiu verifică cunoașterea definiției logaritmului și a condițiilor de existență asociate.
• Rezolvare: Mai întâi, punem condiția de existență pentru logaritm: argumentul trebuie să fie strict pozitiv.

$x-1 > 0 \implies x > 1$. Soluția noastră trebuie să respecte această condiție. Acum, aplicăm definiția logaritmului: $\log_b a = c \iff b^c = a$. În cazul nostru, $\log_5(x-1) = 2$ devine $x-1 = 5^2$. $x-1 = 25$ $x = 26$. Verificăm dacă soluția respectă condiția de existență: $26 > 1$, ceea ce este adevărat. Deci, soluția este validă.

4. Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să fie divizibil cu 10.

• De ce? O problemă clasică de calcul de probabilități, care implică numărarea elementelor unei mulțimi.
• Rezolvare: Formula probabilității este $P = \frac{\text{număr cazuri favorabile}}{\text{număr cazuri posibile}}$.
• Cazuri posibile: Numerele naturale de două cifre sunt 10, 11, ..., 99. Pentru a le număra, facem: $99 - 10 + 1 = 90$ de numere.
• Cazuri favorabile: Un număr este divizibil cu 10 dacă se termină în 0. Numerele de două cifre divizibile cu 10 sunt: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Acestea sunt 9 numere.
• Calculul probabilității: $P = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.

5. În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1, 2)$ și $B(3, 4)$. Determinați panta dreptei $AB$.

• De ce? Verifică aplicarea formulei pentru panta unei drepte determinate de două puncte.
• Rezolvare: Formula pantei (notată $m$) unei drepte care trece prin punctele $A(x_A, y_A)$ și $B(x_B, y_B)$ este:

$$m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$ Înlocuind cu coordonatele punctelor noastre: $m_{AB} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1$.

6. Calculați $\sin(120^\circ)$.

• De ce? Testează cunoașterea formulelor de reducere la primul cadran pentru funcțiile trigonometrice.
• Rezolvare: Unghiul de $120^\circ$ se află în cadranul al doilea. Putem scrie $120^\circ$ ca $180^\circ - 60^\circ$ sau ca $90^\circ + 30^\circ$. Să folosim prima variantă.

Formula de reducere este $\sin(180^\circ - x) = \sin(x)$. Astfel, $\sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ)$. Valoarea sinusului pentru unghiul de $60^\circ$ este o valoare cunoscută: $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Deci, $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Subiectul al II-lea

Acest subiect se concentrează pe algebră (matrici, legi de compoziție) și valorează 30 de puncte.

1. Se consideră matricele $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ și $B(x) = \begin{pmatrix} x & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$, unde $x$ este un număr real.

a) Calculați $\det(A)$.

• Rezolvare: Determinantul unei matrice de ordin 2, $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, se calculează ca $ad - bc$.

$\det(A) = 1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$.

b) Arătați că $A^2 - 5A - 2I_2 = O_2$, unde $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ și $O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$.

• Rezolvare: Mai întâi, calculăm $A^2$:

$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 & 1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 \\ 3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 & 3 \cdot 2 + 4 \cdot 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+6 & 2+8 \\ 3+12 & 6+16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix}$. Acum, calculăm expresia cerută: $A^2 - 5A - 2I_2 = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} - 5 \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} - 2 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ $= \begin{pmatrix} 7-5-2 & 10-10-0 \\ 15-15-0 & 22-20-2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = O_2$. Egalitatea este demonstrată. Aceasta este, de fapt, ecuația caracteristică Hamilton-Cayley pentru matricea A.

c) Determinați numărul real $x$ pentru care $\det(A + B(x)) = 0$.

• Rezolvare: Mai întâi, calculăm suma matricelor $A + B(x)$:

$A + B(x) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} x & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+x & 2+1 \\ 3+0 & 4+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+x & 3 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$. Acum, punem condiția ca determinantul acestei noi matrice să fie 0: $\det(A + B(x)) = (1+x) \cdot 5 - 3 \cdot 3 = 0$ $5 + 5x - 9 = 0$ $5x - 4 = 0$ $5x = 4 \implies x = \frac{4}{5}$.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = xy - 4x - 4y + 20$.

a) Arătați că $x \circ y = (x-4)(y-4) + 4$.

• Rezolvare: Vom porni de la forma din dreapta și vom ajunge la cea din stânga, deoarece este mai direct.

$(x-4)(y-4) + 4 = x \cdot y - 4x - 4y + (-4)(-4) + 4 = xy - 4x - 4y + 16 + 4 = xy - 4x - 4y + 20$. Aceasta este exact forma inițială a legii, deci egalitatea este adevărată.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

• Rezolvare: Fie $e$ elementul neutru. Acesta trebuie să satisfacă relația $x \circ e = e \circ x = x$, pentru orice $x \in \mathbb{R}$.

Folosim forma restrânsă a legii: $x \circ e = x$. $(x-4)(e-4) + 4 = x$ $(x-4)(e-4) = x - 4$. Pentru ca această egalitate să fie valabilă pentru *orice* $x \in \mathbb{R}$ (cu excepția posibilă a lui $x=4$, unde am avea $0=0$), trebuie ca factorul care îl înmulțește pe $(x-4)$ să fie 1. $e-4 = 1 \implies e = 5$. Verificăm și $e \circ x = x$: $(5-4)(x-4) + 4 = 1 \cdot (x-4) + 4 = x-4+4 = x$. Deci, $e=5$ este elementul neutru.

c) Calculați $1 \circ 2 \circ 3 \circ ... \circ 2026$.

• Rezolvare: Aceasta este o problemă care necesită observație. De obicei, există un element "absorbant" sau o proprietate specială a calculului. Să calculăm $x \circ 4$:

$x \circ 4 = (x-4)(4-4) + 4 = (x-4) \cdot 0 + 4 = 0 + 4 = 4$. Observăm că orice număr compus cu 4 dă rezultatul 4. Numărul 4 este un *element absorbant*. Șirul de compuneri este $1 \circ 2 \circ 3 \circ 4 \circ ... \circ 2026$. Deoarece legea de compoziție este comutativă și asociativă (se poate verifica ușor din forma restrânsă), putem grupa termenii cum dorim. $ (1 \circ 2 \circ 3) \circ 4 \circ (5 \circ ... \circ 2026) $ Notăm $A = 1 \circ 2 \circ 3$ și $B = 5 \circ ... \circ 2026$. Calculul devine $A \circ 4 \circ B$. Dar $A \circ 4 = 4$. Deci expresia devine $4 \circ B$. Dar și $4 \circ B = 4$. Prin urmare, rezultatul întregului șir de operații este 4.

Subiectul al III-lea

Acest subiect testează cunoștințele de analiză matematică (derivate, integrale) și valorează 30 de puncte.

1. Se consideră funcția $f: (0, +\infty) \to \mathbb{R}$, $f(x) = x \ln x$.

a) Arătați că $f'(x) = \ln x + 1$.

• Rezolvare: Funcția este un produs de două funcții: $g(x) = x$ și $h(x) = \ln x$. Aplicăm regula de derivare a produsului: $(g \cdot h)' = g'h + gh'$.

$f'(x) = (x)' \cdot \ln x + x \cdot (\ln x)'$ $f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$ $f'(x) = \ln x + 1$.

b) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x_0=1$.

• Rezolvare: Ecuația tangentei la grafic în punctul $(x_0, f(x_0))$ este: $y - f(x_0) = f'(x_0) (x - x_0)$.

Calculăm elementele necesare:

• $x_0 = 1$
• $f(x_0) = f(1) = 1 \cdot \ln 1 = 1 \cdot 0 = 0$.
• $f'(x_0) = f'(1) = \ln 1 + 1 = 0 + 1 = 1$.

Acum înlocuim în ecuația tangentei: $y - 0 = 1 \cdot (x - 1)$ $y = x - 1$.

c) Demonstrați că funcția $f$ este convexă pe $(0, +\infty)$.

• Rezolvare: Convexitatea unei funcții este determinată de semnul derivatei a doua, $f''(x)$. Dacă $f''(x) \ge 0$ pe un interval, funcția este convexă pe acel interval.

Am calculat $f'(x) = \ln x + 1$. Derivăm încă o dată: $f''(x) = (\ln x + 1)' = (\ln x)' + (1)' = \frac{1}{x} + 0 = \frac{1}{x}$. Domeniul de definiție al funcției este $(0, +\infty)$. Pentru orice $x$ din acest domeniu, $x > 0$, deci și $\frac{1}{x} > 0$. Cum $f''(x) > 0$ pentru orice $x \in (0, +\infty)$, rezultă că funcția $f$ este (strict) convexă pe întreg domeniul ei de definiție.

2. Se consideră funcția $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = e^x + 2x$.

a) Calculați $\int_{0}^{1} (f(x) - 2x) dx$.

• Rezolvare: Mai întâi, simplificăm expresia de integrat: $f(x) - 2x = (e^x + 2x) - 2x = e^x$.

Calculăm integrala definită: $$\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1.$$

b) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(0)=2$.

• Rezolvare: O primitivă $F(x)$ se obține prin integrarea lui $f(x)$.

$F(x) = \int f(x) dx = \int (e^x + 2x) dx = \int e^x dx + \int 2x dx$. Folosind formulele de integrare, obținem: $F(x) = e^x + 2 \frac{x^2}{2} + C = e^x + x^2 + C$, unde $C$ este o constantă de integrare. Pentru a determina constanta $C$, folosim condiția din enunț, $F(0)=2$. $F(0) = e^0 + 0^2 + C = 1 + 0 + C = 1 + C$. Deci, $1 + C = 2 \implies C = 1$. Primitiva căutată este $F(x) = e^x + x^2 + 1$.

c) Calculați aria suprafeței plane delimitate de graficul funcției $g(x) = f(x) - e^x$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$.

• Rezolvare: Formula pentru aria cerută este $A = \int_{a}^{b} |g(x)| dx$.

Mai întâi, definim funcția $g(x)$: $g(x) = f(x) - e^x = (e^x + 2x) - e^x = 2x$. Intervalul de integrare este $[1, 2]$. Pe acest interval, $g(x) = 2x > 0$, deci $|g(x)| = g(x)$. Calculăm aria: $$A = \int_{1}^{2} 2x dx = [2 \frac{x^2}{2}]_1^2 = [x^2]_1^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3.$$ Aria este egală cu 3 unități de arie.

• Subiectul I: 1) 8; 2) (0, 3); 3) x=26; 4) 1/10; 5) 1; 6) $\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Subiectul II: 1.a) -2; 1.c) x=4/5; 2.b) e=5; 2.c) 4.
• Subiectul III: 1.b) y=x-1; 2.a) e-1; 2.b) $F(x) = e^x + x^2 + 1$; 2.c) 3.

• Subiectul I: La problema 3, uitarea condiției de existență a logaritmului. La problema 4, numărarea greșită a cazurilor posibile (de ex. 100 sau 99 în loc de 90). La problema 6, încurcarea semnelor funcțiilor trigonometrice în diferite cadrane.
• Subiectul II: La matrici, greșeli de calcul la înmulțire (atenție la ordinea linie-coloană!). La legile de compoziție, tendința de a "ghici" elementul neutru fără o demonstrație formală sau calcularea greșită a produsului de la punctul 2.c), în loc de a observa proprietatea elementului absorbant.
• Subiectul III: La derivarea produselor/fracțiilor, aplicarea greșită a formulelor. La ecuația tangentei, încurcarea lui $f(x_0)$ cu $f'(x_0)$. La integrale, uitarea constantei de integrare $C$ la calculul primitivelor sau greșeli la aplicarea formulei Leibniz-Newton.

Subiectul pe care l-am rezolvat este unul standard, cu un grad de dificultate mediu, specific sesiunilor de Bacalaureat. Cheia succesului stă în stăpânirea foarte bună a formulelor de bază și în atenția la calcule. Nu te grăbi, verifică fiecare pas și citește cu atenție cerința.

Subiectul I este conceput să fie accesibil. Subiectul II necesită mai multă atenție la calculele algebrice, iar Subiectul III verifică dacă ai înțeles conceptele fundamentale de analiză matematică.

Mergi cu încredere la examen! Cu o pregătire serioasă, poți obține un rezultat foarte bun. Mult succes!

*(Notă: Această rezolvare corespunde unui subiect tipic pentru profilul Științele Naturii, conform programei valabile în 2026. Subiectul oficial poate varia, dar tipologia problemelor și nivelul de dificultate vor fi similare.)*