Rezolvare BAC 2012 Matematică (tehnologic) — Model oficial, pas cu pas

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2012 la Matematică (filiera tehnologică și profilul real, științe ale naturii). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresia aritmetică cu $a_1 = 5$, $r = 2$: suma primilor 5 termeni

$S_5 = \frac{(2a_1 + 4r)\cdot 5}{2} = \frac{(10 + 8)\cdot 5}{2} = 45.$

Răspuns: $S_5 = 45$. Barem: 3p, 2p.

2. $m$ pentru care $x^2 - (m+1)x + m = 0$ are soluții reale egale

$\Delta = (m + 1)^2 - 4m = m^2 - 2m + 1 = (m - 1)^2 = 0 \iff m = 1.$

Răspuns: $m = 1$. Barem: 1p, 2p, 2p.

3. Intersecțiile graficului lui $f(x) = 2^{x+1} - 1$ cu axele

• cu $Ox$: $2^{x+1} = 1 = 2^0 \Rightarrow x = -1$, punctul $A(-1, 0)$;
• cu $Oy$: $f(0) = 2 - 1 = 1$, punctul $B(0, 1)$.

Răspuns: $A(-1, 0)$ și $B(0, 1)$. Barem: 2p, 1p, 1p, 1p.

4. $2C_4^2 - 3A_4^1$

$C_4^2 = 6$, $A_4^1 = 4$, deci $12 - 12 = 0$.

Răspuns: $0$. Barem: 2p, 2p, 1p.

5. $a > 0$ cu $\vec v_1 = 2\vec i + a\vec j$ și $\vec v_2 = (a + 3)\vec i + 2\vec j$ coliniari

$\frac{2}{a + 3} = \frac{a}{2} \iff a^2 + 3a - 4 = 0 \iff (a - 1)(a + 4) = 0.$

Cu $a > 0$: $a = 1$.

Răspuns: $a = 1$. Barem: 2p, 2p, 1p.

6. $\sin N$, aria triunghiului $MNP$ fiind $16$, $MN = NP = 8$

$16 = \frac{MN\cdot NP\cdot\sin N}{2} = 32\sin N \Rightarrow \sin N = \frac12.$

Răspuns: $\sin N = \dfrac12$. Barem: 2p, 2p, 1p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Punctele $A_n(n - 1, n + 2)$, $n \in \mathbb N^*$

a) Ecuația dreptei $A_1A_2$

$A_1(0, 3)$, $A_2(1, 4)$: panta $1$, deci $y = x + 3$.

Răspuns: $y = x + 3$. Barem: 2p, 2p, 1p.

b) $A_m, A_n, A_p$ coliniare

Toate punctele verifică $y = x + 3$, căci $(n + 2) = (n - 1) + 3$. Echivalent,

$\begin{vmatrix} m - 1 & m + 2 & 1\\ n - 1 & n + 2 & 1\\ p - 1 & p + 2 & 1\end{vmatrix} = 0$

(scăzând prima coloană din a doua obținem coloana $(3, 3, 3)$, proporțională cu a treia). Barem: 3p, 2p.

c) $M_{2011} = \{n \in \mathbb N^* \mid A_nA_{2011} \le 2\}$

$A_nA_{2011} = \sqrt{(n - 2011)^2 + (n - 2011)^2} = \sqrt2\,|n - 2011| \le 2 \iff |n - 2011| \le \sqrt2.$

Pentru $n$ natural: $|n - 2011| \in \{0, 1\}$.

Răspuns: $M_{2011} = \{2010, 2011, 2012\}$. Barem: 1p, 1p, 1p, 2p.

2. $f = X^3 + (m - 3)X^2 - 17X + (2m + 7)$

a) Pentru $m = 4$: câtul și restul împărțirii la $X - 3$

$f = X^3 + X^2 - 17X + 15$. Horner cu $3$: $1,\ 3 + 1 = 4,\ 12 - 17 = -5,\ -15 + 15 = 0$.

Răspuns: câtul $X^2 + 4X - 5$, restul $0$. Barem: 1p, 3p, 1p.

b) $m$ cu $X - 1 \mid f$

$f(1) = 1 + m - 3 - 17 + 2m + 7 = 3m - 12 = 0 \iff m = 4$.

Răspuns: $m = 4$. Barem: 2p, 1p, 2p.

c) $27^x + 9^x - 17\cdot 3^x + 15 = 0$

Cu $y = 3^x > 0$: $y^3 + y^2 - 17y + 15 = 0$, adică polinomul de la a). Din a), $f = (X - 3)(X^2 + 4X - 5) = (X - 3)(X - 1)(X + 5)$, deci $y \in \{1, 3, -5\}$; $y = -5$ nu convine.

$3^x = 1 \Rightarrow x = 0$, $3^x = 3 \Rightarrow x = 1$.

Răspuns: $x \in \{0, 1\}$. Barem: 2p, 1p, 1p, 1p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \begin{cases}\dfrac{-4}{x^2 + 1}, & x \le 0\\ x - 4, & x > 0\end{cases}$

a) $f$ continuă în $x_0 = 0$

$\lim\limits_{x\nearrow0}\dfrac{-4}{x^2+1} = -4$, $\lim\limits_{x\searrow0}(x - 4) = -4$, $f(0) = -4$. Deci $f$ continuă în 0. Barem: 3p, 2p.

b) $\lim\limits_{x\to4}\dfrac{f(x)}{16 - x^2}$

Lângă 4, $f(x) = x - 4$:

$\lim_{x\to4}\frac{x - 4}{(4 - x)(4 + x)} = \lim_{x\to4}\frac{-1}{4 + x} = -\frac18.$

Răspuns: $-\dfrac18$. Barem: 3p, 2p.

c) Tangenta în $A(-1, -2)$

Pentru $x < 0$: $f'(x) = \dfrac{8x}{(x^2+1)^2}$, deci $f'(-1) = \dfrac{-8}{4} = -2$; $f(-1) = -2$.

$y + 2 = -2(x + 1) \iff y = -2x - 4.$

Răspuns: $y = -2x - 4$. Barem: 2p, 2p, 1p.

2. $f_m(x) = 3m^2x^2 + 6mx + 9$

a) Primitivele lui $f_0$

$f_0(x) = 9$, deci $\displaystyle\int 9\,dx = 9x + C$. Barem: 2p, 3p.

b) Aria pentru $f_1$ între $x = 0$ și $x = 1$

$f_1(x) = 3x^2 + 6x + 9 > 0$ pe $[0,1]$:

$\mathcal A = \int_0^1(3x^2 + 6x + 9)\,dx = (x^3 + 3x^2 + 9x)\Big|_0^1 = 13.$

Răspuns: $13$. Barem: 2p, 2p, 1p.

c) $\displaystyle\int_1^2\frac{f_2(x) - 9}{x}e^x\,dx$

$f_2(x) = 12x^2 + 12x + 9$, deci $\dfrac{f_2(x) - 9}{x} = 12x + 12$. Observăm $(12xe^x)' = 12e^x + 12xe^x$:

$\int_1^2(12x + 12)e^x\,dx = 12xe^x\Big|_1^2 = 24e^2 - 12e.$

Răspuns: $24e^2 - 12e$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$45$
I.2	$m = 1$
I.3	$A(-1,0)$, $B(0,1)$
I.4	$0$
I.5	$a = 1$
I.6	$\sin N = \tfrac12$
II.1.a	$y = x + 3$
II.1.c	$\{2010, 2011, 2012\}$
II.2.a	cât $X^2 + 4X - 5$, rest $0$
II.2.b	$m = 4$
II.2.c	$x \in \{0, 1\}$
III.1.b	$-\tfrac18$
III.1.c	$y = -2x - 4$
III.2.b	$13$
III.2.c	$24e^2 - 12e$

Ce merită reținut din model

• Soluții egale $\iff \Delta = 0$.
• Vectori coliniari: coordonatele sunt proporționale.
• Ecuații exponențiale: substituția $y = 3^x$ duce la polinomul de la punctul anterior — refolosește factorizarea.
• $\int(x + 1)e^x\,dx = xe^x + C$ — recunoaște derivata produsului.