Rezolvare BAC 2013 Matematică (pedagogic) — August–Septembrie, varianta 9, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2013 la Matematică M_pedagogic, sesiunea august–septembrie, varianta 9. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $3(1 + \sqrt3) - \sqrt{27} = 3$

$\sqrt{27} = 3\sqrt3$, deci $3 + 3\sqrt3 - 3\sqrt3 = 3$. Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x + 3$: $f(-3) + f(3) = 6$

$f(-3) = 0$, $f(3) = 6$, suma $6$. Barem: 2p, 3p.

3. $(x + 3)^2 - x^2 - 15 = 0$

$x^2 + 6x + 9 - x^2 - 15 = 0 \iff 6x - 6 = 0 \iff x = 1.$

Răspuns: $x = 1$. Barem: 2p, 3p.

4. După o scumpire cu $10\%$ prețul este 220 lei; prețul inițial

$x + \frac{10}{100}x = 220 \iff \frac{11}{10}x = 220 \iff x = 200.$

Răspuns: 200 de lei. Barem: 2p, 3p.

5. Mijlocul segmentului $PR$, $P(2,3)$, $R(4,3)$

$M\left(\frac{2 + 4}{2}, \frac{3 + 3}{2}\right) = M(3, 3).$

Răspuns: $M(3, 3)$. Barem: 1p, 2p, 2p.

6. $AB$ în triunghiul dreptunghic în $A$, $BC = 20$, $\cos B = \dfrac25$

$BC$ este ipotenuza, $AB$ cateta alăturată unghiului $B$:

$\cos B = \frac{AB}{BC} \Rightarrow AB = 20\cdot\frac25 = 8.$

Răspuns: $AB = 8$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea: $x\circ y = xy + 2x + 2y + 2$.

1. $3\circ(-2)$

$3\circ(-2) = -6 + 6 - 4 + 2 = -2.$

Răspuns: $-2$. Barem: 3p, 2p.

2. Comutativitatea

$x\circ y = xy + 2x + 2y + 2$ și $y\circ x = yx + 2y + 2x + 2$ — egale, deci legea este comutativă. Barem: 3p, 2p.

3. $x\circ y = (x + 2)(y + 2) - 2$

$(x + 2)(y + 2) - 2 = xy + 2x + 2y + 4 - 2 = x\circ y.$

Barem: 2p, 3p.

4. $x\circ x = x$

$(x + 2)^2 - 2 = x \iff x^2 + 3x + 2 = 0 \iff (x + 1)(x + 2) = 0.$

Răspuns: $x \in \{-2, -1\}$. Barem: 2p, 3p.

5. $x\circ(-2) = -2$

$x\circ(-2) = (x + 2)\cdot 0 - 2 = -2$ pentru orice $x$ real. Da. Barem: 3p, 2p.

6. $(-2013)\circ(-2012)\circ\ldots\circ(-2)$

Folosind asociativitatea și 5:

$\big((-2013)\circ\ldots\circ(-3)\big)\circ(-2) = -2.$

Răspuns: $-2$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A(m) = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ -1 & 3 & 1\\ 2 & 1 & m\end{pmatrix}$.

1. $\det(A(0))$

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1\\ -1 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 0\end{vmatrix} = 0 + 4 - 1 - 6 - 1 - 0 = -4.$

Răspuns: $-4$. Barem: 2p, 3p.

2. $\det(A(m)) = 5m - 4$

Regula lui Sarrus:

$\det(A(m)) = 3m + 4 - 1 - 6 - 1 + 2m = 5m - 4.$

Barem: 3p, 2p.

3. $\det(A(m)) = m^2$

$5m - 4 = m^2 \iff m^2 - 5m + 4 = 0 \iff (m - 1)(m - 4) = 0.$

Răspuns: $m \in \{1, 4\}$. Barem: 3p, 2p.

4. $A(m) + A(-m) = 2A(0)$

$A(m) + A(-m) = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 2\\ -2 & 6 & 2\\ 4 & 2 & 0\end{pmatrix} = 2A(0).$

Barem: 2p, 3p.

5. $A(0)\cdot\begin{pmatrix} -1 & 1 & -1\\ 2 & -2 & -2\\ -7 & 3 & 5\end{pmatrix} = -4I_3$

Linie cu coloană:

• linia $(1, 2, 1)$: $-1 + 4 - 7 = -4$, $1 - 4 + 3 = 0$, $-1 - 4 + 5 = 0$;
• linia $(-1, 3, 1)$: $1 + 6 - 7 = 0$, $-1 - 6 + 3 = -4$, $1 - 6 + 5 = 0$;
• linia $(2, 1, 0)$: $-2 + 2 = 0$, $2 - 2 = 0$, $-2 - 2 = -4$.

Produsul este $\begin{pmatrix} -4 & 0 & 0\\ 0 & -4 & 0\\ 0 & 0 & -4\end{pmatrix} = -4I_3$. Da. Barem: 2p, 3p.

6. Sistemul pentru $m = 0$: $\begin{cases} x + 2y + z = 2\\ -x + 3y + z = 3\\ 2x + y = 1\end{cases}$

Determinantul sistemului este $\det A(0) = -4 \ne 0$, deci soluția e unică. Scăzând primele două ecuații: $2x - y = -1$; împreună cu $2x + y = 1$ dă $4x = 0$, $x = 0$, $y = 1$, iar din prima ecuație $z = 2 - 2 = 0$.

(Sau: din 5, $A(0)^{-1} = -\frac14 B$ și $X = A(0)^{-1}(2, 3, 1)^T$.)

Răspuns: $(x, y, z) = (0, 1, 0)$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.3	$x = 1$
I.4	200 lei
I.5	$M(3, 3)$
I.6	$AB = 8$
II.1	$-2$
II.4	$x \in \{-2, -1\}$
II.6	$-2$
III.1	$-4$
III.3	$m \in \{1, 4\}$
III.6	$(0, 1, 0)$

Ce merită reținut din varianta 9

• Legea $(x+2)(y+2) - 2$ are pe $-2$ element absorbant: orice compunere care îl conține dă $-2$.
• Dacă $A\cdot B = kI_3$, atunci $A^{-1} = \frac1k B$ — util la rezolvarea sistemelor.
• Cosinusul în triunghiul dreptunghic = cateta alăturată / ipotenuză.