Rezolvare BAC 2014 Matematică M1 (mate-info) — Rezervă, varianta 3, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2014 la Matematică M_mate-info, sesiunea de rezervă, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $z = 1 + i$; $z^2$

$z^2 = 1 + 2i + i^2 = 2i$. Răspuns: $2i$. Barem: 2p, 3p.

2. Parabola lui $f(x) = x^2 - 4x + 6$ nu intersectează $Ox$

$\Delta = 16 - 24 = -8 < 0$, deci ecuația $f(x) = 0$ nu are soluții reale. Barem: 3p, 2p.

3. $\log_2(2x - 3) = \log_2(x + 1)$

$2x - 3 = x + 1 \iff x = 4$; verificare: $5 = 5 > 0$ ✔.

Răspuns: $x = 4$. Barem: 2p, 3p.

4. Probabilitatea ca un număr de două cifre să fie impar

45 de numere impare ($11, 13, \dots, 99$) din 90.

Răspuns: $p = \dfrac12$. Barem: 2p, 1p, 2p.

5. $M, N, P$ mijloacele laturilor: $\vec{AM} + \vec{BN} + \vec{CP} = \vec0$

$\vec{AM} = \frac12\vec{AB}$, $\vec{BN} = \frac12\vec{BC}$, $\vec{CP} = \frac12\vec{CA}$, deci suma este

$\frac12\left(\vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CA}\right) = \frac12\vec{AA} = \vec0.$

Barem: 2p, 3p.

6. $\operatorname{tg} a = \sqrt3$: $\dfrac{\sin a - \cos a}{\cos a + \sin a} = 2 - \sqrt3$

Împărțim numărătorul și numitorul la $\cos a \ne 0$:

$\frac{\operatorname{tg} a - 1}{1 + \operatorname{tg} a} = \frac{\sqrt3 - 1}{\sqrt3 + 1} = \frac{(\sqrt3 - 1)^2}{2} = \frac{4 - 2\sqrt3}{2} = 2 - \sqrt3.$

Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 2\\ 1 & 2 & a\end{pmatrix}$

a) $\det(A(1)) = -1$

$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 1\end{vmatrix} = 1 + 2 + 2 - 1 - 4 - 1 = -1.$

Barem: 2p, 3p.

b) $m$ cu $\det(A(m)) = 0$

$\det(A(m)) = m^2 + 2 + 2 - m - 4 - m = m^2 - 2m.$

Răspuns: $m \in \{0, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

c) $a$ cu $A(a)A(a) - A(a^2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 5 & -5\\ 1 & -5 & 5\end{pmatrix}$

$A(a)^2 = \begin{pmatrix} 3 & a + 3 & a + 3\\ a + 3 & a^2 + 5 & 4a + 1\\ a + 3 & 4a + 1 & a^2 + 5\end{pmatrix}, \quad A(a)^2 - A(a^2) = \begin{pmatrix} 2 & a + 2 & a + 2\\ a + 2 & 5 & 4a - 1\\ a + 2 & 4a - 1 & 5\end{pmatrix}.$

Egalând: $a + 2 = 1$ și $4a - 1 = -5$, ambele dând $a = -1$.

Răspuns: $a = -1$. Barem: 3p, 2p.

2. Legea $x * y = 3x + 3y - xy - 6$ (asociativă)

a) $1 * 3$

$3 + 9 - 3 - 6 = 3$. Răspuns: $3$. Barem: 3p, 2p.

b) $x * y = 3 - (x - 3)(y - 3)$

$3 - (xy - 3x - 3y + 9) = -xy + 3x + 3y - 6 = x * y$. Barem: 2p, 3p.

c) $\underbrace{x * x * \ldots * x}_{2014} = x$

Din b), $(x * y) - 3 = -(x - 3)(y - 3)$. Prin inducție, compunerea a $n$ copii ale lui $x$ dă $(-1)^{n-1}(x - 3)^n + 3$; pentru $n = 2014$: $3 - (x - 3)^{2014}$.

$3 - (x - 3)^{2014} = x \iff (x - 3)^{2014} = -(x - 3).$

Cu $t = x - 3$: $t(t^{2013} + 1) = 0 \iff t = 0$ sau $t = -1$.

Răspuns: $x \in \{2, 3\}$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \dfrac{x - 2}{x^2 - 4x + 5}$

a) $f'(x) = \dfrac{(1 - x)(x - 3)}{(x^2 - 4x + 5)^2}$

$f'(x) = \frac{(x^2 - 4x + 5) - (x - 2)(2x - 4)}{(x^2 - 4x + 5)^2} = \frac{-x^2 + 4x - 3}{(x^2 - 4x + 5)^2} = \frac{(1 - x)(x - 3)}{(x^2 - 4x + 5)^2}.$

Barem: 2p, 3p.

b) Asimptota spre $+\infty$

$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{x - 2}{x^2 - 4x + 5} = 0$ (gradul numitorului mai mare).

Răspuns: $y = 0$. Barem: 3p, 2p.

c) Monotonia

$f'(x) = 0 \iff x \in \{1, 3\}$; $(1 - x)(x - 3) \ge 0$ doar între rădăcini.

Răspuns: $f$ descrescătoare pe $(-\infty, 1]$, crescătoare pe $[1, 3]$, descrescătoare pe $[3, +\infty)$. Barem: 2p, 1p, 1p, 1p.

2. $I_n = \displaystyle\int_1^e x\ln^n x\,dx$

a) $I_1 = \dfrac{e^2 + 1}{4}$

$I_1 = \frac{x^2}{2}\ln x\Big|_1^e - \int_1^e\frac{x}{2}dx = \frac{e^2}{2} - \frac{e^2 - 1}{4} = \frac{e^2 + 1}{4}.$

Barem: 3p, 2p.

b) $I_{n+1} \le I_n$

$I_{n+1} - I_n = \int_1^e x\ln^n x(\ln x - 1)\,dx \le 0,$

căci pe $[1, e]$: $\ln x \in [0, 1]$, deci $\ln^n x \ge 0$ și $\ln x - 1 \le 0$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

c) $2I_{n+1} + (n + 1)I_n = e^2$

Prin părți ($u = \ln^{n+1}x$, $v' = x$):

$I_{n+1} = \frac{x^2}{2}\ln^{n+1}x\Big|_1^e - \int_1^e\frac{x^2}{2}\cdot\frac{(n+1)\ln^n x}{x}dx = \frac{e^2}{2} - \frac{n+1}{2}I_n.$

Înmulțind cu 2: $2I_{n+1} + (n + 1)I_n = e^2$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$z^2 = 2i$
I.3	$x = 4$
I.4	$p = \tfrac12$
II.1.a	$-1$
II.1.b	$m \in \{0, 2\}$
II.1.c	$a = -1$
II.2.a	$3$
II.2.c	$x \in \{2, 3\}$
III.1.b	$y = 0$
III.2.a	$\tfrac{e^2+1}{4}$

Ce merită reținut din varianta 3

• Legea $3 - (x-3)(y-3)$: compunerea repetată dă $3 + (-1)^{n-1}(x-3)^n$ — atenție la semn.
• Raport cu $\sin$ și $\cos$: împarte la $\cos a$ ca să lucrezi cu $\operatorname{tg} a$.
• Integrale cu $\ln^n x$: pe $[1, e]$, $0 \le \ln x \le 1$, deci șirul este descrescător.