Rezolvare BAC 2015 Matematică M1 (mate-info) — Model oficial, pas cu pas

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2015 la Matematică M_mate-info. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $z = 1 + i$; $(z - 1)^2$

$z - 1 = i$, deci $(z - 1)^2 = i^2 = -1$. Răspuns: $-1$. Barem: 2p, 3p.

2. $3(x_1 + x_2) - 4x_1x_2 = 3$ pentru $x^2 - 5x + 3 = 0$

Viète: $x_1 + x_2 = 5$, $x_1x_2 = 3$, deci $15 - 12 = 3$. Barem: 2p, 3p.

3. $4^x - 3\cdot 2^x + 2 = 0$

Cu $t = 2^x$: $t^2 - 3t + 2 = (t - 1)(t - 2) = 0$, deci $2^x = 1$ sau $2^x = 2$.

Răspuns: $x \in \{0, 1\}$. Barem: 3p, 2p.

4. Probabilitatea ca un număr de două cifre să fie divizibil cu 13

Multiplii: $13, 26, 39, 52, 65, 78, 91$ — 7 din 90.

Răspuns: $p = \dfrac{7}{90}$. Barem: 2p, 1p, 2p.

5. Paralela prin $A(1, 0)$ la $d: y = 3x + 4$

Panta $3$: $y = 3(x - 1) = 3x - 3$. Barem: 3p, 2p.

6. Raza cercului circumscris: $AB = 12$, $C = \dfrac\pi6$

$\dfrac{AB}{\sin C} = 2R \Rightarrow R = \dfrac{12}{2\cdot\frac12} = 12$.

Răspuns: $R = 12$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & a & a + 1\\ 2 & a + 2 & a + 3\end{pmatrix}$

a) $\det(A(a))$

Scădem linia a doua din a treia: $L_3 - L_2 = (2, 2, 2) = 2L_1$. Determinantul cu două linii proporționale este nul.

Răspuns: $\det(A(a)) = 0$. Barem: 2p, 3p.

b) $n$ natural cu $2A(n^2) - A(n) = A(6)$

$2A(n^2) - A(n) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 2n^2 - n & 2n^2 - n + 1\\ 2 & 2n^2 - n + 2 & 2n^2 - n + 3\end{pmatrix}.$

Egalitatea cu $A(6)$ revine la $2n^2 - n = 6 \iff (n - 2)(2n + 3) = 0$.

Răspuns: $n = 2$ ($-\frac32 \notin \mathbb N$). Barem: 3p, 2p.

c) Infinitate de matrice $X$ cu $A(2015)X = O_{3,1}$

Pentru $X = (x, y, z)^T$ obținem sistemul omogen

$\begin{cases} x + y + z = 0\\ 2015y + 2016z = 0\\ 2x + 2017y + 2018z = 0\end{cases}$

al cărui determinant este $\det A(2015) = 0$; deci sistemul are o infinitate de soluții. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

2. $f = X^3 + mX - 3$

a) Pentru $m = 2$: $f(1) = 0$

$1 + 2 - 3 = 0$. Barem: 2p, 3p.

b) $m$ cu $X + 1 \mid f$

$f(-1) = -1 - m - 3 = 0 \iff m = -4$. Răspuns: $m = -4$. Barem: 2p, 3p.

c) Pentru $m > 0$, $f$ are două rădăcini de module egale

Viète: $\sum x_i = 0$, $\sum x_ix_j = m$, deci $\sum x_i^2 = 0 - 2m < 0$. Prin urmare $f$ are cel puțin o rădăcină nereală. Cum $f$ are coeficienți reali, rădăcinile nereale apar în perechi conjugate $z$, $\overline z$, iar $|z| = |\overline z|$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \dfrac{x + 1}{e^x - x}$

a) $f'(x)$

$f'(x) = \frac{(e^x - x) - (x + 1)(e^x - 1)}{(e^x - x)^2} = \frac{1 - xe^x}{(e^x - x)^2}.$

Barem: 2p, 3p.

b) Tangenta în $x_0 = 0$

$f(0) = 1$, $f'(0) = 1$: $y = x + 1$. Barem: 2p, 3p.

c) $\lim\limits_{x\to+\infty} f(-x)$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{-x + 1}{e^{-x} + x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{-1 + \frac1x}{\frac{e^{-x}}{x} + 1} = -1.$

Răspuns: $-1$. Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}$

a) $\displaystyle\int_0^2 f^2(x)\,dx$

$\int_0^2\frac{dx}{x^2 + 4} = \frac12\operatorname{arctg}\frac x2\Big|_0^2 = \frac12\cdot\frac\pi4 = \frac\pi8.$

Răspuns: $\dfrac\pi8$. Barem: 3p, 2p.

b) Orice primitivă a lui $f$ este crescătoare

$F'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + 4}} > 0$, deci $F$ este crescătoare pe $\mathbb R$. Barem: 2p, 3p.

c) $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^nf(x)\,dx$; $nI_n = \sqrt5 - 4(n - 1)I_{n-2}$

Scriem $\dfrac{x^n}{\sqrt{x^2+4}} = x^{n-1}\left(\sqrt{x^2 + 4}\right)'$ și integrăm prin părți:

$I_n = x^{n-1}\sqrt{x^2 + 4}\Big|_0^1 - (n - 1)\int_0^1 x^{n-2}\sqrt{x^2 + 4}\,dx = \sqrt5 - (n - 1)\int_0^1\frac{x^{n-2}(x^2 + 4)}{\sqrt{x^2+4}}dx.$

Ultima integrală este $I_n + 4I_{n-2}$, deci $I_n = \sqrt5 - (n-1)I_n - 4(n-1)I_{n-2}$, adică

$nI_n = \sqrt5 - 4(n - 1)I_{n-2}, \quad n \ge 3. \ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$-1$
I.3	$x \in \{0, 1\}$
I.4	$p = \tfrac7{90}$
I.5	$y = 3x - 3$
I.6	$R = 12$
II.1.a	$0$
II.1.b	$n = 2$
II.2.b	$m = -4$
III.1.b	$y = x + 1$
III.1.c	$-1$
III.2.a	$\tfrac\pi8$

Ce merită reținut din model

• Determinant nul fără calcul: caută o combinație de linii proporțională cu altă linie.
• Rădăcini conjugate: un polinom real cu $\sum x_i^2 < 0$ are rădăcini nereale, care vin în perechi de același modul.
• $\frac{x}{\sqrt{x^2+a}} = (\sqrt{x^2+a})'$ — cheia recurenței de la III.2.c.