Matematică · clasa a XII-a
Primitive și integrale definite
„Nu știu să găsesc primitiva unei funcții și nu înțeleg cum se aplică formula Leibniz–Newton.”
Semne că blocajul vine de aici
- Uiți constanta C la primitive sau uiți să împarți la noul exponent.
- Nu vezi că integrarea este inversa derivării.
- La integrala definită calculezi F(a) − F(b) în loc de F(b) − F(a).
Noțiunea care lipsește de obicei
Înainte să refaci exerciții de tipul acesta, verifică dacă stăpânești noțiunile de mai jos. De cele mai multe ori, blocajul se rezolvă acolo, nu aici.
Explicația, pe scurt
F este primitiva lui f dacă F' = f. De aceea tabelul de primitive este tabelul de derivate citit invers: ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n + 1) + C (n ≠ −1), ∫1/x dx = ln|x| + C, ∫eˣ dx = eˣ + C, ∫cos x dx = sin x + C, ∫sin x dx = −cos x + C.
Formula Leibniz–Newton: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a). Integrala definită este un număr (aria cu semn dintre grafic și axa Ox), nu o funcție.
Verificare rapidă: derivează primitiva găsită — trebuie să obții exact funcția de sub integrală.
Exemplu rezolvat
Calculează ∫₀² (3x² + 2x) dx.
- 1Primitiva: F(x) = x³ + x² (verificare: F' = 3x² + 2x ✔).
- 2F(2) = 8 + 4 = 12; F(0) = 0.
- 3Integrala = 12 − 0 = 12.
Răspuns: 12
Verificare rapidă
Răspunsul rămâne doar în pagina ta; nu este trimis sau salvat.
Cât este ∫₁ᵉ (1/x) dx?