Matematică · clasele XI–XII
Derivate: reguli de calcul și aplicații
„Nu rețin formulele de derivare și nu știu să aplic regula produsului, a câtului sau a funcției compuse.”
Semne că blocajul vine de aici
- Derivezi un produs ca pe o sumă ((fg)' = f'g' — greșit).
- La funcții compuse uiți să înmulțești cu derivata „interiorului”.
- Nu știi ce legătură este între semnul derivatei și monotonia funcției.
Noțiunea care lipsește de obicei
Înainte să refaci exerciții de tipul acesta, verifică dacă stăpânești noțiunile de mai jos. De cele mai multe ori, blocajul se rezolvă acolo, nu aici.
clasa a XI-a
Limite de funcții și cazurile de nedeterminare
„Când înlocuiesc obțin 0/0 sau ∞/∞ și nu știu ce să fac mai departe.”
Vezi ce îți lipsește
clasele IX–X
Trigonometrie: valori remarcabile și cercul trigonometric
„Nu rețin sin, cos, tg pentru 30°, 45°, 60° și nu înțeleg cum devin negative în celelalte cadrane.”
Vezi ce îți lipsește
clasa a X-a
Logaritmi și ecuații exponențiale
„Nu înțeleg ce este un logaritm și nu știu să rezolv 2ˣ = 32 sau log₂(x) = 5.”
Vezi ce îți lipsește
clasele X–XI
Geometrie analitică: ecuația dreptei, pantă, distanțe
„Nu știu să scriu ecuația unei drepte prin două puncte sau să verific dacă două drepte sunt paralele ori perpendiculare.”
Vezi ce îți lipsește
Explicația, pe scurt
Derivata măsoară viteza de variație: f'(x₀) este panta tangentei la grafic în x₀. Formule de bază: (xⁿ)' = n xⁿ⁻¹, (eˣ)' = eˣ, (ln x)' = 1/x, (sin x)' = cos x, (cos x)' = −sin x, (c)' = 0.
Reguli: (f + g)' = f' + g'; (c f)' = c f'; (f g)' = f'g + f g'; (f/g)' = (f'g − f g')/g²; funcție compusă: (f(g(x)))' = f'(g(x)) × g'(x) — derivezi „exteriorul”, apoi înmulțești cu derivata „interiorului”.
Aplicații: f' > 0 pe un interval → f crescătoare; f' < 0 → descrescătoare; punctele în care f' se anulează și își schimbă semnul sunt puncte de extrem (maxim sau minim).
Exemplu rezolvat
Derivează f(x) = x² × eˣ și g(x) = sin(3x² + 1).
- 1f este produs: f' = (x²)' × eˣ + x² × (eˣ)' = 2x eˣ + x² eˣ = eˣ(x² + 2x).
- 2g este funcție compusă: exteriorul sin, interiorul 3x² + 1.
- 3g' = cos(3x² + 1) × (3x² + 1)' = 6x cos(3x² + 1).
Răspuns: f' = eˣ(x² + 2x); g' = 6x cos(3x² + 1)
Verificare rapidă
Răspunsul rămâne doar în pagina ta; nu este trimis sau salvat.
Derivata funcției f(x) = ln(x² + 1) este:
Ce poți învăța în continuare
Noțiunile de mai jos se construiesc pe derivate: reguli de calcul și aplicații. Dacă verificarea a ieșit bine, poți trece la ele.