Rezolvare BAC Matematică 2023 — Simulare națională

Se cere rezolvarea integrală a subiectului de Matematică M_mate-info (Simulare națională 2023, filiera teoretică/profil real și filiera vocațională/profil militar), format din trei subiecte: Subiectul I (numere complexe, funcții, logaritmi, probabilități, vectori, trigonometrie), Subiectul al II-lea (matrice, sisteme de ecuații liniare, lege de compoziție) și Subiectul al III-lea (studiul funcțiilor cu logaritm și exponențială, integrale definite).

1.

Avem $z_1=1+2i$ și $z_2=1-i$.

$$z_1^2=(1+2i)^2=1+4i+4i^2=1+4i-4=-3+4i$$ $$4z_2=4(1-i)=4-4i$$ $$z_1^2+4z_2=(-3+4i)+(4-4i)=1$$

Deci $z_1^2+4z_2=1$, adică exact ce trebuia demonstrat.

2.

Punctele comune ale graficelor se obțin din $f(x)=g(x)$: $$3x+1=x^2+x+m \Leftrightarrow x^2-2x+(m-1)=0$$

Pentru ca ecuația să aibă exact o soluție (deci graficele să aibă exact un punct comun), discriminantul trebuie să fie zero (de ce: o dreaptă și o parabolă au un singur punct comun exact atunci când dreapta este tangentă parabolei, adică discriminantul ecuației de intersecție este 0): $$\Delta=4-4(m-1)=8-4m=0 \Rightarrow m=2$$

Rezultat: $m=2$.

3.

Ecuația: $\lg(x^2+9)=2\lg(x\sqrt{10})$.

Domeniul de definiție: $x\sqrt{10}>0 \Rightarrow x>0$ (de ce: logaritmul este definit doar pentru argumente strict pozitive); $x^2+9>0$ este automat satisfăcută.

Scriem $2\lg(x\sqrt{10})=\lg\left((x\sqrt{10})^2\right)=\lg(10x^2)$.

Ecuația devine: $$x^2+9=10x^2 \Rightarrow 9=9x^2 \Rightarrow x^2=1 \Rightarrow x=\pm1$$

Din condiția $x>0$ rămâne doar $x=1$.

Verificare: $\lg(1+9)=\lg10=1$; $2\lg\sqrt{10}=2\cdot\frac12=1$. ✓

Rezultat: $x=1$.

4.

Mulțimea $A$ conține numerele naturale cu cel mult două cifre, deci $A=\{0,1,2,\dots,99\}$, cu $|A|=100$.

Multiplii lui 9 din acest interval: $0,9,18,27,36,45,54,63,72,81,90,99$ — în total $12$ numere (de ce: $\left\lfloor\frac{99}{9}\right\rfloor+1=11+1=12$, incluzând și $0$).

$$P=\frac{12}{100}=\frac{3}{25}$$

Rezultat: $P=\dfrac{3}{25}$.

5.

Pentru că $M$ este mijlocul lui $AC$, avem $\overrightarrow{MA}=-\dfrac12\overrightarrow{AC}$.

$$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD})+(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AE})=2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}$$

Cum $D,E\in(AB)$ și $AD=BE$, rezultă $AE=AB-BE=AB-AD$, deci: $$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD})=\overrightarrow{AB}$$

De asemenea $2\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{AC}$. Astfel: $$\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=-\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$$

(De ce: $\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}$ prin regula triunghiului.)

Relația cerută este demonstrată.

6.

Ecuația: $\sin 2x=1+\cos 2x$, cu $x\in[0,\pi]$.

Folosim $1+\cos 2x=2\cos^2x$ și $\sin2x=2\sin x\cos x$: $$2\sin x\cos x=2\cos^2x \Leftrightarrow 2\cos x(\sin x-\cos x)=0$$

Deci $\cos x=0$ sau $\sin x=\cos x$ (adică $\tan x=1$).

• $\cos x=0$, $x\in[0,\pi]\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{2}$
• $\tan x=1$, $x\in[0,\pi]\Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}$

Verificare: $x=\pi/4$: $\sin(\pi/2)=1=1+\cos(\pi/2)=1+0$ ✓. $x=\pi/2$: $\sin\pi=0=1+\cos\pi=1-1=0$ ✓.

Rezultat: $x\in\left\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right\}$.

1.a)

Pentru $a=0$: $$A(0)=\begin{pmatrix}0&1&2\\1&0&-1\\2&2&1\end{pmatrix}$$

$$\det A(0)=0\cdot(0\cdot1-(-1)\cdot2)-1\cdot(1\cdot1-(-1)\cdot2)+2\cdot(1\cdot2-0\cdot2)$$ $$=0-1\cdot(1+2)+2\cdot(2-0)=-3+4=1$$

Deci $\det A(0)=1$.

1.b)

Calculăm determinantul general: $$\det A(a)=a(a\cdot1-(-1)\cdot2)-1(1\cdot1-(-1)\cdot2)+2(1\cdot2-a\cdot2)$$ $$=a(a+2)-3+2(2-2a)=a^2+2a-3+4-4a=a^2-2a+1=(a-1)^2$$

Sistemul are soluție unică dacă $\det A(a)\neq0$ (de ce: matricea sistemului este nesingulară exact atunci când determinantul ei e nenul, caz în care sistemul Cramer are soluție unică): $$(a-1)^2\neq0 \Rightarrow a\neq1$$

Rezultat: $a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$.

1.c)

Pentru $a=1$, sistemul devine: $$\begin{cases}x+y+2z=-2\\ x+y-z=4\\ 2x+2y+z=2\end{cases}$$

Scăzând a doua ecuație din prima: $(x+y+2z)-(x+y-z)=-2-4 \Rightarrow 3z=-6 \Rightarrow z=-2$.

Din a doua ecuație: $x+y=4+z=4-2=2$.

Se verifică a treia ecuație: $2(x+y)+z=2\cdot2+(-2)=2$ ✓ (sistemul este compatibil nedeterminat, consistent cu $\det A(1)=0$).

Deci $z_0=-2$ și $x_0+y_0=2$, cu $x_0,y_0,z_0\in\mathbb{Z}$ și condiția $x_0>y_0>z_0$.

Notăm $y_0=k$, atunci $x_0=2-k$. Condițiile: $$x_0>y_0 \Rightarrow 2-k>k \Rightarrow k<1$$ $$y_0>z_0 \Rightarrow k>-2$$

Deci $k\in\{-1,0\}$:

• $k=-1$: $(x_0,y_0,z_0)=(3,-1,-2)$, verifică $3>-1>-2$ ✓
• $k=0$: $(x_0,y_0,z_0)=(2,0,-2)$, verifică $2>0>-2$ ✓

Rezultat: $(x_0,y_0,z_0)\in\{(3,-1,-2),(2,0,-2)\}$.

2.a)

Pentru $x=1$: cum $1-x^2=1-1=0$, avem $\sqrt{(1-1^2)(1-\frac14)}=\sqrt{0}=0$.

$$1*\frac12=\frac{1\cdot\frac12}{1+0}=\frac12$$

2.b)

Pentru orice $x\in M=[-1,1]$: $$x*x=\frac{x\cdot x}{1+\sqrt{(1-x^2)(1-x^2)}}=\frac{x^2}{1+\sqrt{(1-x^2)^2}}=\frac{x^2}{1+|1-x^2|}$$

Cum $x\in[-1,1]\Rightarrow x^2\le1\Rightarrow 1-x^2\ge0$, deci $|1-x^2|=1-x^2$: $$x*x=\frac{x^2}{1+(1-x^2)}=\frac{x^2}{2-x^2}$$

Cum $2-x^2\ge1>0$, rezultă $\dfrac{1}{2-x^2}\le1$, deci: $$x*x=x^2\cdot\frac{1}{2-x^2}\le x^2$$

Relația $x*x\le x^2$ este demonstrată pentru orice $x\in M$.

2.c)

Cerem $a*b=1$: $$\frac{ab}{1+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}}=1 \Rightarrow ab=1+\sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}$$

Cum $a,b\in[-1,1]$, avem $ab\le1$, iar membrul drept este $\ge1$ (radicalul fiind nenegativ). Deci trebuie ca ambele părți să fie egale cu $1$: $$ab=1 \text{ și } \sqrt{(1-a^2)(1-b^2)}=0$$

Din $a,b\in[-1,1]$ și $ab=1$ rezultă $a=b=1$ sau $a=b=-1$ (de ce: produsul a două numere de modul cel mult $1$ este $1$ doar dacă ambele au modulul exact $1$ și același semn). În ambele cazuri radicalul este automat $0$.

Rezultat: $(a,b)\in\{(1,1),(-1,-1)\}$.

1.a)

Funcția este $f(x)=x-1-\ln(e^x+x^2)$, definită pe $\mathbb{R}$ (expresia $e^x+x^2>0$ întotdeauna, deci logaritmul are sens pentru orice $x$).

$$f'(x)=1-\frac{e^x+2x}{e^x+x^2}=\frac{(e^x+x^2)-(e^x+2x)}{e^x+x^2}=\frac{x^2-2x}{e^x+x^2}=\frac{x(x-2)}{e^x+x^2}$$

1.b)

Tangenta în $(a,f(a))$ este paralelă cu axa $Ox$ dacă și numai dacă panta ei este $0$, adică $f'(a)=0$ (de ce: panta tangentei la grafic într-un punct este $f'(a)$, iar o dreaptă paralelă cu $Ox$ are panta $0$):

$$f'(a)=\frac{a(a-2)}{e^a+a^2}=0 \Rightarrow a(a-2)=0 \Rightarrow a=0 \text{ sau } a=2$$

Rezultat: $a\in\{0,2\}$.

1.c)

Din $f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{e^x+x^2}$, cum numitorul este mereu pozitiv, semnul lui $f'$ este dat de $x(x-2)$:

• $f'(x)>0$ pentru $x\in(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$ (f crescătoare)
• $f'(x)<0$ pentru $x\in(0,2)$ (f descrescătoare)

Calculăm valorile de extrem: $$f(0)=0-1-\ln(e^0+0)=-1-\ln1=-1$$ $$f(2)=2-1-\ln(e^2+4)=1-\ln(e^2+4)\approx-1{,}43$$

Limite:

Pentru $x\to-\infty$: $e^x\to0$, deci $e^x+x^2\sim x^2$, iar $\ln(x^2)=2\ln|x|\to+\infty$ mult mai lent decât $|x|$, deci $f(x)=x-1-\ln(e^x+x^2)\to-\infty$.

Pentru $x\to+\infty$: scriem $e^x+x^2=e^x\left(1+x^2e^{-x}\right)$, deci $$f(x)=x-1-x-\ln(1+x^2e^{-x})=-1-\ln(1+x^2e^{-x})$$ Cum $x^2e^{-x}\to0$, rezultă $f(x)\to-1$ (prin valori mai mici decât $-1$, deoarece $\ln(1+x^2e^{-x})>0$).

Tabloul de variație: $f$ crescătoare pe $(-\infty,0]$ de la $-\infty$ la $-1$; descrescătoare pe $[0,2]$ de la $-1$ la $f(2)$; crescătoare pe $[2,+\infty)$ de la $f(2)$ către $-1$ (fără a atinge $-1$).

Deoarece ramura $(-\infty,0]$ acoperă deja toate valorile din $(-\infty,-1]$, iar celelalte două ramuri nu depășesc valoarea $-1$, rezultă:

$$\text{Im}(f)=(-\infty,-1]$$

2.a)

Funcția este $f(x)=\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}$, definită pe $(-3,+\infty)$.

$$f(x)\sqrt{x+3}=\frac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}\cdot\sqrt{x+3}=x^2+1$$

$$\int_0^3 f(x)\sqrt{x+3}\,dx=\int_0^3(x^2+1)\,dx=\left[\frac{x^3}{3}+x\right]_0^3=\left(\frac{27}{3}+3\right)-0=9+3=12$$

2.b)

$$\frac{f(x)}{x^2+1}=\frac{\dfrac{x^2+1}{\sqrt{x+3}}}{x^2+1}=\frac{1}{\sqrt{x+3}}$$

$$\int_{-2}^{1}\frac{dx}{\sqrt{x+3}}=\Big[2\sqrt{x+3}\Big]_{-2}^{1}=2\sqrt{4}-2\sqrt{1}=2\cdot2-2\cdot1=4-2=2$$

2.c)

Avem $\dfrac{1}{f(x)}=\dfrac{\sqrt{x+3}}{x^2+1}$.

Pentru $x\in[0,1]$, avem $x+3\le4$, deci $\sqrt{x+3}\le\sqrt4=2$ (de ce: funcția radical este crescătoare, iar $x+3$ ia valori în $[3,4]$ pe acest interval).

Rezultă: $$\frac{1}{f(x)}=\frac{\sqrt{x+3}}{x^2+1}\le\frac{2}{x^2+1}, \quad \forall x\in[0,1]$$

Integrând pe $[0,1]$: $$\int_0^1\frac{dx}{f(x)}\le\int_0^1\frac{2\,dx}{x^2+1}=2\big[\arctan x\big]_0^1=2\left(\frac{\pi}{4}-0\right)=\frac{\pi}{2}$$

Astfel, $\displaystyle\int_0^1\frac{1}{f(x)}\,dx\le\frac{\pi}{2}$, ceea ce trebuia demonstrat.

Subiectul I:

1. $z_1^2+4z_2=1$ (demonstrat)
2. $m=2$
3. $x=1$
4. $P=\dfrac{3}{25}$
5. $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{CB}$ (demonstrat)
6. $x\in\left\{\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right\}$

Subiectul al II-lea:

1. a) $\det A(0)=1$; b) $a\in\mathbb{R}\setminus\{1\}$; c) $(x_0,y_0,z_0)\in\{(3,-1,-2),(2,0,-2)\}$
2. a) $1*\frac12=\frac12$ (demonstrat); b) $x*x\le x^2$ (demonstrat); c) $(a,b)\in\{(1,1),(-1,-1)\}$

Subiectul al III-lea:

1. a) $f'(x)=\dfrac{x(x-2)}{e^x+x^2}$; b) $a\in\{0,2\}$; c) $\text{Im}(f)=(-\infty,-1]$
2. a) $12$ (demonstrat); b) $2$ (demonstrat); c) inegalitate demonstrată

• La I.3, uitarea condiției de domeniu $x>0$ (din $x\sqrt{10}>0$), ceea ce duce la păstrarea greșită a soluției $x=-1$.
• La I.4, confundarea „cel mult două cifre” cu intervalul $[10,99]$, omițând $0$ și numerele de o singură cifră, ceea ce schimbă atât numărătorul cât și numitorul probabilității.
• La II.1.b, confundarea condiției de soluție unică (determinant nenul) cu determinant nul.
• La II.1.c, neverificarea condiției de compatibilitate a sistemului (a treia ecuație) înainte de a căuta soluțiile întregi.
• La II.2.b, aplicarea greșită a modulului: uitarea faptului că pe $[-1,1]$, $1-x^2\ge0$, deci $|1-x^2|=1-x^2$ (fără schimbare de semn).
• La III.1.c, omiterea calculului limitei la $+\infty$ prin scoaterea factorului $e^x$ forțat, ceea ce duce la o imagine greșită a funcției.
• La III.2.c, încercarea de a calcula direct integrala (care nu are primitivă elementară simplă) în loc de a folosi o majorare/inegalitate.

Acest subiect testează: proprietăți ale numerelor complexe conjugate, intersecția graficelor unei funcții de gradul I cu una de gradul II prin discriminant, ecuații logaritmice cu condiții de existență, probabilități elementare (cardinal mulțime/cardinal eveniment favorabil), operații cu vectori în triunghi, ecuații trigonometrice prin formule de unghi dublu, determinanți și sisteme Cramer, legi de compoziție definite printr-o formulă explicită, studiul variației unei funcții cu exponențială și logaritm (derivată, monotonie, imagine), respectiv calculul și estimarea integralelor definite prin schimbări de variabilă/majorări. Pentru rezultate corecte, sunt esențiale: verificarea atentă a domeniilor de definiție, folosirea tabelului de semn/variație pentru determinarea imaginii unei funcții și alegerea unor majorări simple (inegalități) atunci când o integrală nu se poate calcula direct.