Rezolvare BAC Matematică 2026 — Sesiunea specială

Salutare! Numele meu este... și, în calitate de profesor cu peste 20 de ani de experiență în pregătirea elevilor pentru Bacalaureat la matematică, te voi ghida astăzi prin rezolvarea subiectelor de la sesiunea specială 2026. Vom parcurge împreună, pas cu pas, fiecare exercițiu, voi explica logica din spatele fiecărei alegeri și îți voi oferi sfaturi pentru a evita greșelile frecvente.

Această variantă acoperă principalele capitole din programă: algebră de bază (numere complexe, funcții, logaritmi), analiză matematică (derivate, integrale) și algebră superioară (matrici, polinoame). Hai să începem!

Subiectul I

1. Calculați modulul numărului complex $ z = (1+i)(3-2i) + (1-i)(3+2i) $.

• De ce? Acest exercițiu testează cunoștințele de bază despre operațiile cu numere complexe și proprietățile conjugatului. Observarea unei structuri simetrice poate scurta semnificativ calculul.
• Rezolvare: Desfacem parantezele:

$ z = (1 \cdot 3 - 1 \cdot 2i + i \cdot 3 - i \cdot 2i) + (1 \cdot 3 + 1 \cdot 2i - i \cdot 3 - i \cdot 2i) $ $ z = (3 - 2i + 3i - 2i^2) + (3 + 2i - 3i - 2i^2) $ Știm că $ i^2 = -1 $, deci $-2i^2 = 2$. $ z = (3 + i + 2) + (3 - i + 2) $ $ z = (5 + i) + (5 - i) $ $ z = 10 $ Modulul unui număr real este valoarea sa absolută. Așadar, $ |z| = |10| = 10 $.

2. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = 2x-3 $ și $ g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = x^2-4x+1 $.

• De ce? Aflarea intersecției a două grafice de funcții este o problemă standard care se reduce la rezolvarea unei ecuații. Aici, vom rezolva o ecuație de gradul al doilea.
• Rezolvare: Punctul de intersecție, să-l numim $ M(x_0, y_0) $, este punctul ale cărui coordonate verifică ambele ecuații ale funcțiilor. Deci, $ y_0 = f(x_0) $ și $ y_0 = g(x_0) $. Egalăm cele două funcții:

$ f(x) = g(x) \implies 2x - 3 = x^2 - 4x + 1 $ Rearanjăm termenii pentru a obține o ecuație de gradul al doilea: $ x^2 - 4x - 2x + 1 + 3 = 0 $ $ x^2 - 6x + 4 = 0 $ Calculăm discriminantul $ \Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(1)(4) = 36 - 16 = 20 $. Rădăcinile sunt $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{20}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 3 \pm \sqrt{5} $. Avem două puncte de intersecție. Pentru a găsi ordonatele, înlocuim valorile lui $ x $ în funcția mai simplă, $ f(x) $: $ y_1 = f(3+\sqrt{5}) = 2(3+\sqrt{5}) - 3 = 6 + 2\sqrt{5} - 3 = 3 + 2\sqrt{5} $ $ y_2 = f(3-\sqrt{5}) = 2(3-\sqrt{5}) - 3 = 6 - 2\sqrt{5} - 3 = 3 - 2\sqrt{5} $ Punctele de intersecție sunt $ A(3+\sqrt{5}, 3+2\sqrt{5}) $ și $ B(3-\sqrt{5}, 3-2\sqrt{5}) $.

3. Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $ \log_2(x-3) + \log_2(x-1) = 3 $.

• De ce? Acest exercițiu verifică aplicarea corectă a proprietăților logaritmilor și, foarte important, punerea condițiilor de existență.
• Rezolvare:
• Condiții de existență: Argumentul unui logaritm trebuie să fie strict pozitiv.

$ x-3 > 0 \implies x > 3 $ $ x-1 > 0 \implies x > 1 $ Intersectând condițiile, obținem $ x \in (3, \infty) $.

1. Rezolvarea ecuației: Folosim proprietatea $ \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c) $.

$ \log_2((x-3)(x-1)) = 3 $ Aplicăm definiția logaritmului: $ (x-3)(x-1) = 2^3 $ $ x^2 - x - 3x + 3 = 8 $ $ x^2 - 4x - 5 = 0 $ Rezolvăm ecuația de gradul al doilea. Putem folosi formula cu discriminantul sau observa că rădăcinile sunt $ x_1=5 $ și $ x_2=-1 $ (deoarece $ S = x_1+x_2 = 4 $ și $ P = x_1x_2 = -5 $).

1. Verificarea soluțiilor: Comparăm soluțiile găsite cu domeniul de existență $ x \in (3, \infty) $.

$ x_1 = 5 $ este validă, deoarece $ 5 > 3 $. $ x_2 = -1 $ nu este validă, deoarece $ -1 \notin (3, \infty) $. Soluția finală este $ x=5 $.

Subiectul al II-lea

1. Fie matricea $ A(x) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^x \end{pmatrix} $, unde $ x $ este un număr real. a) Arătați că $ \det(A(x)) = 2^x $.

• De ce? Este un calcul standard de determinant pentru o matrice 3x3, simplificat de prezența zerourilor.
• Rezolvare: Folosim regula lui Sarrus sau dezvoltarea după o linie/coloană. Dezvoltarea după coloana 1 este cea mai rapidă:

$ \det(A(x)) = 1 \cdot (-1)^{1+1} \cdot \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2^x \end{vmatrix} + 0 + 0 = 1 \cdot (1 \cdot 2^x - 0 \cdot 0) = 2^x $.

b) Demonstrați că $ A(x) \cdot A(y) = A(x+y) $ pentru orice numere reale $ x, y $.

• De ce? Se verifică proprietățile de înmulțire a matricilor și cunoștințele despre regulile exponențiale.
• Rezolvare: Calculăm produsul matricial:

$$ A(x) \cdot A(y) = \begin{pmatrix} 1 & x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^x \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & y & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^y \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 1\cdot1+x\cdot0+0\cdot0 & 1\cdot y+x\cdot1+0\cdot0 & 1\cdot0+x\cdot0+0\cdot2^y \\ 0\cdot1+1\cdot0+0\cdot0 & 0\cdot y+1\cdot1+0\cdot0 & 0\cdot0+1\cdot0+0\cdot2^y \\ 0\cdot1+0\cdot0+2^x\cdot0 & 0\cdot y+0\cdot1+2^x\cdot0 & 0\cdot0+0\cdot0+2^x\cdot2^y \end{pmatrix} $$ $$ = \begin{pmatrix} 1 & y+x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2^{x+y} \end{pmatrix} = A(x+y) $$ Ceea ce trebuia demonstrat.

2. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $ x \circ y = xy - 4x - 4y + 20 $. a) Arătați că $ x \circ y = (x-4)(y-4) + 4 $.

• De ce? Verifică abilitatea de a restrânge o expresie algebrică, o tehnică esențială în studiul legilor de compoziție.
• Rezolvare: Pornim de la forma restrânsă și o dezvoltăm:

$ (x-4)(y-4) + 4 = (xy - 4x - 4y + 16) + 4 = xy - 4x - 4y + 20 = x \circ y $. Demonstrația este completă.

b) Determinați elementul neutru al legii de compoziție.

• De ce? Se aplică definiția elementului neutru: $ x \circ e = e \circ x = x $.
• Rezolvare: Folosim forma restrânsă, care este mai simplă. Căutăm $ e \in \mathbb{R} $ astfel încât $ x \circ e = x $ pentru orice $ x \in \mathbb{R} $.

$ (x-4)(e-4) + 4 = x $ $ (x-4)(e-4) = x - 4 $ Această egalitate trebuie să fie adevărată pentru orice $ x \in \mathbb{R} $. Pentru $ x \neq 4 $, putem împărți prin $ (x-4) $: $ e-4 = 1 \implies e = 5 $. Verificăm și pentru $ x=4 $: $ 4 \circ 5 = (4-4)(5-4)+4 = 0+4=4 $. Deci, $ e=5 $ este elementul neutru.

Subiectul al III-lea

1. Se consideră funcția $ f: (0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = \frac{\ln x}{x} $. a) Calculați $ f'(x) $ și arătați că $ f'(e) = 0 $.

• De ce? Este un exercițiu clasic de derivare folosind regula câtului și de evaluare a derivatei într-un punct.
• Rezolvare: Aplicăm regula de derivare a unui cât $ (u/v)' = (u'v - uv')/v^2 $.

Aici, $ u = \ln x \implies u' = 1/x $ și $ v = x \implies v' = 1 $. $ f'(x) = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - (\ln x) \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \ln x}{x^2} $. Acum, calculăm valoarea în punctul $ x=e $: $ f'(e) = \frac{1 - \ln e}{e^2} = \frac{1 - 1}{e^2} = \frac{0}{e^2} = 0 $.

b) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $ +\infty $ la graficul funcției $ f $.

• De ce? Se verifică abilitatea de a calcula limite la infinit, necesară pentru a găsi asimptote orizontale. Cazul $ \infty/\infty $ se rezolvă cu L'Hôpital.
• Rezolvare: Calculăm limita funcției când $ x \rightarrow +\infty $:

$ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x} $ Suntem în cazul de nedeterminare $ \frac{\infty}{\infty} $, deci putem aplica regula lui L'Hôpital. $ \lim_{x \to \infty} \frac{(\ln x)'}{(x)'} = \lim_{x \to \infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0 $. Deoarece limita este finită ($ L=0 $), ecuația asimptotei orizontale spre $ +\infty $ este $ y = 0 $.

2. Se consideră funcția $ f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x) = x^2 + 1 $. a) Calculați $ \int_0^1 f(x) \, dx $.

• De ce? Un exercițiu fundamental de calcul al unei integrale definite dintr-o funcție polinomială.
• Rezolvare:

$ \int_0^1 (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^1 $ (folosind formula $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} $). Aplicăm formula Leibniz-Newton: $ F(b) - F(a) $. $ = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} $.

b) Calculați volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $ g: [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}, g(x) = \sqrt{f(x)} $ în jurul axei Ox.

• De ce? Verifică aplicarea formulei pentru volumul unui corp de rotație.
• Rezolvare: Formula volumului este $ V = \pi \int_a^b [g(x)]^2 \, dx $.

În cazul nostru, $ a=0, b=1 $ și $ g(x) = \sqrt{x^2+1} $. Deci, $ [g(x)]^2 = (\sqrt{x^2+1})^2 = x^2+1 $, care este chiar funcția $ f(x) $. $ V = \pi \int_0^1 (x^2+1) \, dx $ Am calculat deja această integrală la subpunctul a). Valoarea ei este $ 4/3 $. Prin urmare, volumul este $ V = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3} $.

• Subiectul I: 1) 10; 2) $ A(3+\sqrt{5}, 3+2\sqrt{5}) $ și $ B(3-\sqrt{5}, 3-2\sqrt{5}) $; 3) $ x=5 $.
• Subiectul al II-lea: 1.a) Demonstrație; 1.b) Demonstrație; 2.a) Demonstrație; 2.b) $ e=5 $.
• Subiectul al III-lea: 1.a) $ f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2} $, $ f'(e)=0 $; 1.b) $ y=0 $; 2.a) $ \frac{4}{3} $; 2.b) $ \frac{4\pi}{3} $.

• Subiectul I.3: Cea mai mare greșeală este omiterea condițiilor de existență pentru logaritmi. Mulți elevi rezolvă corect ecuația $ x^2-4x-5=0 $, găsesc soluțiile $ x=5 $ și $ x=-1 $, dar uită să verifice dacă acestea aparțin domeniului $ (3, \infty) $, raportând ambele soluții ca fiind corecte.
• Subiectul II.1.b: O greșeală de neatenție ar fi să aduni elementele matricelor în loc să le înmulțești, sau să greșești formula de înmulțire a exponenților ($ 2^x \cdot 2^y = 2^{x+y} $, nu $ 2^{xy} $).
• Subiectul II.2.b: Confundarea legii de compoziție cu o ecuație obișnuită. Unii elevi ar putea încerca să "rezolve" $ (x-4)(e-4)=x-4 $ pentru un $x$ anume, în loc să înțeleagă că egalitatea trebuie să fie valabilă *pentru orice* $x$.
• Subiectul III.1.b: Aplicarea greșită a regulii lui L'Hôpital (de ex. derivarea incorectă a lui $ \ln x $) sau uitarea completă a acestei metode, rămânând blocat în cazul $ \infty/\infty $.
• Subiectul III.2.b: Utilizarea greșită a formulei volumului. O greșeală comună este să se calculeze $ \pi \int_a^b g(x) \, dx $ în loc de $ \pi \int_a^b [g(x)]^2 \, dx $. În acest caz, s-ar ajunge la o integrală mult mai complexă, $ \int \sqrt{x^2+1} dx $, ceea ce ar trebui să fie un semnal de alarmă.

Pentru a avea succes la examenul de Bacalaureat la Matematică, este crucial să stăpânești noțiunile de bază și să fii foarte atent la detalii.

• Algebră: Exersează operațiile cu diverse tipuri de numere, rezolvarea ecuațiilor (în special cele cu logaritmi sau exponențiale, unde condițiile de existență sunt esențiale) și proprietățile funcțiilor.
• Matrici și Legi de Compoziție: Fii riguros în calcule. Învață bine definițiile (element neutru, element simetrizabil etc.) și tehnicile de restrângere a expresiilor.
• Analiză Matematică: Repetă formulele de derivare și integrare. Nu uita de regulile speciale, precum L'Hôpital pentru limite și formula volumului corpurilor de rotație. O derivată corect calculată este adesea cheia pentru a rezolva tot exercițiul (puncte de extrem, monotonie).

Mult succes la pregătire!

--- *Notă: Aceste subiecte sunt create pentru a reflecta structura și dificultatea examenului de Bacalaureat, conform programei în vigoare, și nu reprezintă o variantă oficială extrasă dintr-o sesiune anterioară.*