Rezolvare BAC 2019 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 6, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2019 la Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 6. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Suma primilor trei termeni ai progresiei geometrice cu termeni pozitivi, $b_1 = 2$, $b_3 = 8$

$b_2^2 = b_1b_3 = 16$ și $b_2 > 0$, deci $b_2 = 4$. $S_3 = 2 + 4 + 8 = 14$.

Răspuns: $14$. Barem: 2p, 3p.

2. $A(m, 2m)$ aparține graficului lui $f(x) = 5x - 6$

$f(m) = 2m \iff 5m - 6 = 2m \iff m = 2$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $\sqrt{x^2 - 10x + 25} = 5$

$x^2 - 10x + 25 = 25 \iff x(x - 10) = 0 \iff x \in \{0, 10\}$; ambele convin (sau: $|x - 5| = 5$).

Răspuns: $x \in \{0, 10\}$. Barem: 2p, 3p.

4. Ieftinire cu $10\%$, apoi scumpire cu 10 lei: prețul final 190 de lei

$x - \frac{10}{100}x + 10 = 190 \iff 0{,}9x = 180 \iff x = 200$.

Răspuns: $200$ de lei. Barem: 3p, 2p.

5. Mediana din $A$ în $\triangle AOB$, $A(4,4)$, $B(6,0)$

Mijlocul lui $OB$: $M(3, 0)$. Panta $AM$: $\frac{4 - 0}{4 - 3} = 4$, deci $y - 0 = 4(x - 3)$.

Răspuns: $y = 4x - 12$. Barem: 2p, 3p.

6. Arătați că $2\sin30^\circ - \sin 90^\circ = 0$

$2\cdot\frac12 - 1 = 0$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea: $x \circ y = 2(xy + x + y) + 1$.

1. $(-1)\circ 1 = -1$

$2(-1 - 1 + 1) + 1 = -2 + 1 = -1$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

2. Legea este comutativă

$x \circ y = 2(xy + x + y) + 1 = 2(yx + y + x) + 1 = y \circ x$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

3. $x \circ y = 2(x + 1)(y + 1) - 1$

$2xy + 2x + 2y + 2 - 1 = 2x(y + 1) + 2(y + 1) - 1 = 2(x+1)(y+1) - 1$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

4. $e = -\frac12$ este element neutru

$x \circ \left(-\frac12\right) = 2(x + 1)\cdot\frac12 - 1 = x$, iar prin comutativitate și $\left(-\frac12\right)\circ x = x$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

5. $(x - 1)\circ(x + 2) = -5$

$2x(x + 3) - 1 = -5 \iff 2x^2 + 6x + 4 = 0 \iff x^2 + 3x + 2 = 0 \iff x \in \{-2, -1\}$. Barem: 3p, 2p.

6. Numerele naturale nenule $n$ cu $n \circ (n - 1) \le 11$

$2(n + 1)n - 1 \le 11 \iff n^2 + n - 6 \le 0 \iff (n + 3)(n - 2) \le 0 \iff n \in [-3, 2]$.

Răspuns: $n \in \{1, 2\}$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix}1 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}3 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix}$.

1. $\det A = -2$

$1\cdot 0 - 2\cdot 1 = -2$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

2. $\det(A + B)$

$A + B = \begin{pmatrix}4 & 2\\ 4 & 2\end{pmatrix}$, cu liniile egale: $\det = 8 - 8 = 0$.

Răspuns: $0$. Barem: 3p, 2p.

3. $A\cdot A = B$

$A^2 = \begin{pmatrix}1 + 2 & 1 + 0\\ 2 + 0 & 2 + 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 & 1\\ 2 & 2\end{pmatrix} = B.\ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

4. $aA + bB = \begin{pmatrix}5 & 3\\ 6 & 2\end{pmatrix}$

$aA + bB = \begin{pmatrix}a + 3b & a + b\\ 2a + 2b & 2b\end{pmatrix}.$

Din $2b = 2$: $b = 1$; din $a + b = 3$: $a = 2$; verificare: $a + 3b = 5$ ✔, $2a + 2b = 6$ ✔.

Răspuns: $a = 2$, $b = 1$. Barem: 2p, 3p.

5. Dacă $X + A = B$, atunci $X$ este inversabilă

$X = B - A = \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix}$, $\det X = 4 \ne 0$, deci $X$ este inversabilă. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

6. $\det(A + B - aI_2) \le 0$

$A + B - aI_2 = \begin{pmatrix}4 - a & 2\\ 4 & 2 - a\end{pmatrix},\quad \det = (4 - a)(2 - a) - 8 = a^2 - 6a.$

$a(a - 6) \le 0 \iff a \in [0, 6]$.

Răspuns: $a \in [0, 6]$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$S_3 = 14$
I.2	$m = 2$
I.3	$x \in \{0, 10\}$
I.4	$200$ lei
I.5	$y = 4x - 12$
II.5	$x \in \{-2, -1\}$
II.6	$n \in \{1, 2\}$
III.2	$0$
III.4	$a = 2$, $b = 1$
III.6	$a \in [0, 6]$

Ce merită reținut din varianta 6

• Progresie geometrică: $b_2^2 = b_1b_3$ (media geometrică).
• $\sqrt{(x-5)^2} = |x - 5|$ — ecuația devine una cu modul.
• Determinant nul când două linii sunt egale sau proporționale.