Rezolvare BAC 2018 Matematică (pedagogic) — Iunie–Iulie, varianta 2, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2018 la Matematică M_pedagogic, sesiunea iunie–iulie, varianta 2. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $2\left(0{,}1(6) + \dfrac13\right) = 1$

Transformăm fracția periodică mixtă: $0{,}1(6) = \dfrac{16 - 1}{90} = \dfrac{15}{90} = \dfrac16$.

$2\left(\frac16 + \frac13\right) = 2\cdot\frac{1 + 2}{6} = 2\cdot\frac12 = 1.$

Barem: 3p $0{,}1(6) = \frac16$, 2p finalizarea.

2. $f(x) = 2x - 2$; determinați $a$ cu $f(a) = a$

$f(a) = a \iff 2a - 2 = a \iff a = 2.$

Răspuns: $a = 2$. Barem: 2p $f(a) = 2a-2$, 3p valoarea lui $a$.

3. Ecuația $5^{x^2+6} = 5^{5x}$

Funcția exponențială este injectivă, deci egalăm exponenții:

$x^2 + 6 = 5x \iff x^2 - 5x + 6 = 0 \iff (x-2)(x-3) = 0.$

Răspuns: $x \in \{2, 3\}$. Barem: 3p ecuația de gradul 2, 2p soluțiile.

4. Prețul de $900$ lei după două ieftiniri succesive cu $10\%$

• După prima ieftinire: $900 - \dfrac{10}{100}\cdot 900 = 900 - 90 = 810$ lei.
• După a doua: $810 - \dfrac{10}{100}\cdot 810 = 810 - 81 = 729$ lei.

(Altfel: $900\cdot 0{,}9^2 = 900 \cdot 0{,}81 = 729$.)

Răspuns: $729$ de lei. Barem: 3p prima ieftinire, 2p a doua.

5. $A(2,-1)$, $B(1,2)$, $C(-1,-2)$: triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel

$AB = \sqrt{(1-2)^2 + (2+1)^2} = \sqrt{10}, \quad AC = \sqrt{(-1-2)^2 + (-2+1)^2} = \sqrt{10},$

$BC = \sqrt{(-1-1)^2 + (-2-2)^2} = \sqrt{20}.$

$AB = AC$, deci triunghiul este isoscel; $AB^2 + AC^2 = 10 + 10 = 20 = BC^2$, deci (reciproca teoremei lui Pitagora) este dreptunghic în $A$. Barem: 3p laturile și isoscel, 2p dreptunghic.

6. Arătați că $\sin^2 30^\circ + \sin^2 45^\circ + \sin^2 60^\circ = \dfrac32$

$\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac24 + \frac34 = \frac64 = \frac32.$

Barem: 3p valorile, 2p calculul.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea pe $\mathbb R$: $x * y = 2(x + y) + xy + 2$.

1. Arătați că $0 * (-2) = -2$

$0 * (-2) = 2(0 - 2) + 0 + 2 = -4 + 2 = -2.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p finalizarea.

2. $x * y = (x+2)(y+2) - 2$

$x * y = xy + 2x + 2y + 4 - 2 = x(y+2) + 2(y+2) - 2 = (x+2)(y+2) - 2.$

Barem: 2p adunarea și scăderea lui 2, 3p gruparea.

3. $e = -1$ este element neutru

$x * (-1) = (x+2)(1) - 2 = x, \qquad (-1) * x = 1\cdot(x+2) - 2 = x,$

pentru orice $x$ real, deci $e = -1$ este elementul neutru. Barem: 2p $x*(-1)$, 3p comutarea și concluzia.

4. $(x+1) * (x+1) = 2$

$(x+3)^2 - 2 = 2 \iff (x+3)^2 = 4 \iff x^2 + 6x + 5 = 0 \iff x \in \{-5, -1\}.$

Răspuns: $x \in \{-5, -1\}$. Barem: 3p ecuația, 2p soluțiile.

5. $x > 0$ cu $\lg x * \lg(2x) = -2$

$(\lg x + 2)(\lg(2x) + 2) - 2 = -2 \iff (\lg x + 2)(\lg(2x) + 2) = 0.$

• $\lg x = -2 \Rightarrow x = 10^{-2} = \dfrac{1}{100}$;
• $\lg(2x) = -2 \Rightarrow 2x = \dfrac1{100} \Rightarrow x = \dfrac{1}{200}$.

Ambele sunt pozitive, deci convin. Răspuns: $x \in \left\{\dfrac1{100}, \dfrac1{200}\right\}$. Barem: 3p descompunerea, 2p soluțiile.

6. $a, b \in \mathbb Q \setminus \mathbb Z$ cu $a * b \in \mathbb Z$

$a * b \in \mathbb Z \iff (a+2)(b+2) \in \mathbb Z$. Alegem $a + 2 = \dfrac23$ și $b + 2 = \dfrac32$, adică

$a = -\frac43, \quad b = -\frac12, \qquad a * b = \frac23\cdot\frac32 - 2 = 1 - 2 = -1 \in \mathbb Z.$

Răspuns (un exemplu): $a = -\dfrac43$, $b = -\dfrac12$. Barem: 2p condiția, 3p exemplul.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

$A = \begin{pmatrix}1&1\\0&2\end{pmatrix}$, $I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$, $M(a) = aA + I_2$.

1. $\det A = 2$

$\det A = 1\cdot 2 - 0\cdot 1 = 2.$

Barem: 3p formula, 2p calculul.

2. $\det(M(a)) = (a+1)(2a+1)$

$M(a) = \begin{pmatrix}a & a\\0 & 2a\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+1 & a\\0 & 2a+1\end{pmatrix},$

$\det(M(a)) = (a+1)(2a+1) - 0 = (a+1)(2a+1).$

Barem: 3p matricea $M(a)$, 2p determinantul.

3. Inversa matricei $M(-2)$

$M(-2) = \begin{pmatrix}-1 & -2\\0 & -3\end{pmatrix}$, $\det = (-1)(-3) = 3 \ne 0$.

$M^{-1}(-2) = \frac13\begin{pmatrix}-3 & 2\\0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & \frac23\\[2pt] 0 & -\frac13\end{pmatrix}.$

(Verificare: $M(-2)\cdot M^{-1}(-2) = I_2$ ✔.) Barem: 2p determinantul, 3p inversa.

4. $M(1)\cdot M(2) = 3(A\cdot A + I_2)$

$M(1)M(2) = \begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}3&2\\0&5\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6&9\\0&15\end{pmatrix} = 3\begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix},$

$A\cdot A + I_2 = \begin{pmatrix}1&3\\0&4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2&3\\0&5\end{pmatrix}.$

Deci egalitatea are loc. Barem: 3p produsul, 2p finalizarea.

5. $\det(M(a) - 2aA) \ne 1$ pentru orice $a$ întreg nenul

$M(a) - 2aA = I_2 - aA = M(-a)$, deci din 2):

$\det(M(a) - 2aA) = (1-a)(1-2a).$

$(1-a)(1-2a) = 1 \iff 2a^2 - 3a = 0 \iff a(2a - 3) = 0 \iff a \in \left\{0, \tfrac32\right\}$ — niciuna nu este întreg nenul. $\blacksquare$ Barem: 2p determinantul, 3p concluzia.

6. $X \in \mathcal M_{2,1}(\mathbb R)$ cu $A\cdot X = \begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix}$

Fie $X = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$:

$\begin{pmatrix}x + y\\2y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-4\end{pmatrix} \iff \begin{cases}x + y = 0\\2y = -4\end{cases} \iff y = -2,\ x = 2.$

Răspuns: $X = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$. Barem: 2p sistemul, 3p soluția.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 2$
I.3	$x \in \{2, 3\}$
I.4	$729$ lei
II.4	$x \in \{-5, -1\}$
II.5	$x \in \{\frac1{100}, \frac1{200}\}$
II.6	ex. $a = -\frac43$, $b = -\frac12$
III.3	$M^{-1}(-2) = \begin{pmatrix}-1&\frac23\\0&-\frac13\end{pmatrix}$
III.6	$X = \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din varianta 2

• Legea $xy + 2x + 2y + 2$ se scrie $(x+2)(y+2) - 2$; forma factorizată rezolvă imediat ecuațiile.
• Ieftiniri succesive cu $p\%$: înmulțește cu $\left(1 - \frac p{100}\right)$ de fiecare dată, nu scădea $2p\%$.
• Triunghi dreptunghic din coordonate: compară pătratele lungimilor (reciproca lui Pitagora).
• Inversa unei matrice $2\times2$: $\frac{1}{\det}\begin{pmatrix}d & -b\\-c & a\end{pmatrix}$.