Rezolvare BAC 2018 Matematică (pedagogic) — Simulare națională, pas cu pas

Rezolvarea completă a simulării de Bacalaureat 2018 la Matematică M_pedagogic pentru clasa a XII-a. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. A 2018-a zecimală a numărului $\frac{40}{11}$

Împărțind: $\dfrac{40}{11} = 3{,}636363\ldots = 3{,}(63)$. Perioada are 2 cifre: pe pozițiile impare stă $6$, pe cele pare stă $3$. Cum $2018$ este par:

Răspuns: a 2018-a zecimală este $3$. Barem: 3p scrierea ca fracție periodică, 2p zecimala.

2. Valoarea minimă a funcției $f(x) = x^2 - 3x + 2$

$a = 1 > 0$, deci funcția are minim, egal cu $-\dfrac{\Delta}{4a}$. $\Delta = 9 - 8 = 1$:

$f_{\min} = -\frac{1}{4}.$

(Atins în $x = \frac32$: $\frac94 - \frac92 + 2 = -\frac14$ ✔.) Barem: 2p $\Delta$, 3p valoarea minimă.

3. Ecuația $4^x - 2^x = 12$

Notăm $t = 2^x > 0$: $t^2 - t - 12 = 0 \iff (t - 4)(t + 3) = 0$. Doar $t = 4$ convine ($t > 0$), deci $2^x = 4$.

Răspuns: $x = 2$. Barem: 3p factorizarea, 2p soluția.

4. Scumpire cu 10%, apoi ieftinire cu 10%: prețul final 990 lei

Fie $x$ prețul inițial. După scumpire: $1{,}1x$; după reducere: $0{,}9\cdot1{,}1x = 0{,}99x$.

$0{,}99x = 990 \iff x = 1000.$

Răspuns: 1000 de lei. Barem: 3p ecuația, 2p rezultatul.

5. $A(1,2)$, $B(-1,5)$, $C(-3,4)$, $D(a,4)$; $\overrightarrow{AD}$ și $\overrightarrow{CB}$ coliniari

$\overrightarrow{AD} = (a-1)\vec i + 2\vec j$, $\overrightarrow{CB} = (-1+3)\vec i + (5-4)\vec j = 2\vec i + \vec j$. Coliniari $\iff$ coordonate proporționale:

$\frac{a-1}{2} = \frac{2}{1} \iff a - 1 = 4 \iff a = 5.$

Răspuns: $a = 5$. Barem: 2p vectorii, 3p valoarea lui $a$.

6. Raza cercului circumscris, $AB = 10$, $AC = 24$, $BC = 26$

$10^2 + 24^2 = 100 + 576 = 676 = 26^2$, deci (reciproca lui Pitagora) triunghiul e dreptunghic în $A$, iar ipotenuza $BC$ este diametru:

$R = \frac{BC}{2} = 13.$

Răspuns: $R = 13$. Barem: 2p triunghiul dreptunghic, 3p raza.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea: $x * y = xy - 4x - 4y + 20$ pe $\mathbb R$.

1. Calculați $2 * 3$

$2 * 3 = 6 - 8 - 12 + 20 = 6.$

Barem: 3p înlocuirea, 2p rezultatul.

2. $x * y = (x-4)(y-4) + 4$

$xy - 4x - 4y + 16 + 4 = x(y-4) - 4(y-4) + 4 = (x-4)(y-4) + 4.$

Barem: 3p scrierea $20 = 16 + 4$, 2p factorizarea.

3. Legea este asociativă

$(x*y)*z = \big((x-4)(y-4) + 4 - 4\big)(z-4) + 4 = (x-4)(y-4)(z-4) + 4,$ $x*(y*z) = (x-4)\big((y-4)(z-4) + 4 - 4\big) + 4 = (x-4)(y-4)(z-4) + 4.$

Cele două expresii coincid pentru orice $x, y, z$ reali, deci legea este asociativă. Barem: 2p $(x*y)*z$, 3p $x*(y*z)$ și concluzia.

4. $x * (x+1) = 6$

$(x-4)(x-3) + 4 = 6 \iff x^2 - 7x + 12 - 2 = 0 \iff x^2 - 7x + 10 = 0 \iff (x-2)(x-5) = 0.$

Răspuns: $x \in \{2, 5\}$. Barem: 3p ecuația, 2p soluțiile.

5. $x * x \le 8$

$(x-4)^2 + 4 \le 8 \iff (x-4)^2 \le 4 \iff -2 \le x - 4 \le 2 \iff x \in [2, 6].$

Răspuns: $x \in [2, 6]$. Barem: 2p inecuația, 3p soluția.

6. $2^0 * 2^1 * 2^2 * \dots * 2^{2018}$

Elementul $4$ este „absorbant": $x * 4 = (x-4)\cdot0 + 4 = 4$ și $4 * y = 4$. Printre factori apare $2^2 = 4$. Folosind asociativitatea:

$\underbrace{(2^0 * 2^1) * 4}_{=4} * 2^3 * \dots * 2^{2018} = 4 * 2^3 * \dots * 2^{2018} = 4.$

Răspuns: $4$. Barem: 2p elementul absorbant, 3p finalizarea.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matricea: $A(a,b) = \begin{pmatrix} a & b\\ -b & a\end{pmatrix}$.

1. $\det(A(1,1))$

$\det\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot1 - 1\cdot(-1) = 2.$

Barem: 3p scrierea, 2p calculul.

2. $A(x,y) - A(3,1) = A(1,1)$

$\begin{pmatrix} x-3 & y-1\\ -y+1 & x-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix} \iff x - 3 = 1,\ y - 1 = 1.$

Răspuns: $x = 4$, $y = 2$. Barem: 3p sistemul, 2p soluția.

3. $6A(3,1) - A(3,1)\cdot A(3,1) = 10A(1,0)$

$A(3,1)^2 = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 6\\ -6 & 8\end{pmatrix},$

$\begin{pmatrix} 18 & 6\\ -6 & 18\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 8 & 6\\ -6 & 8\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 10 & 0\\ 0 & 10\end{pmatrix} = 10\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} = 10A(1,0).$

Barem: 3p calculul, 2p finalizarea.

4. $\det(A(a,b)) = 0$

$\det(A(a,b)) = a^2 + b^2$. O sumă de pătrate de numere reale este $0$ doar dacă ambele sunt $0$.

Răspuns: $a = 0$ și $b = 0$. Barem: 3p determinantul, 2p concluzia.

5. Ecuația $A(1,1)\cdot X = A(1,0)$

$A(1,0) = I_2$, deci $X = A(1,1)^{-1}$. Cum $\det A(1,1) = 2 \ne 0$:

$X = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac12 & -\frac12\\ \frac12 & \frac12\end{pmatrix}.$

(Verificare: $\begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} \frac12 & -\frac12\\ \frac12 & \frac12\end{pmatrix} = I_2$ ✔.) Barem: 2p inversa, 3p soluția.

6. $(m,n)$ naturale cu $A(m,-n) = A(m,n)^{-1}$

$A(m,n)A(m,-n) = \begin{pmatrix} m & n\\ -n & m\end{pmatrix}\begin{pmatrix} m & -n\\ n & m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} m^2+n^2 & 0\\ 0 & m^2+n^2\end{pmatrix}.$

Trebuie să fie $I_2$: $m^2 + n^2 = 1$, cu $m, n \in \mathbb N$.

Răspuns: $(m,n) \in \{(0,1), (1,0)\}$. Barem: 3p condiția, 2p perechile.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$3$
I.2	$-\frac14$
I.3	$x = 2$
I.4	1000 lei
I.5	$a = 5$
I.6	$R = 13$
II.1	$6$
II.4	$x \in \{2, 5\}$
II.5	$x \in [2, 6]$
II.6	$4$
III.1	$2$
III.2	$x = 4$, $y = 2$
III.4	$a = b = 0$
III.5	$X = \frac12\begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}$
III.6	$(0,1)$, $(1,0)$

Ce merită reținut din simularea 2018

• Legea $(x-a)(y-a) + a$: $a$ este element absorbant — un singur factor egal cu $a$ face tot produsul egal cu $a$.
• Scumpire + ieftinire cu același procent nu revine la prețul inițial: $1{,}1\cdot0{,}9 = 0{,}99$.
• Matricele $\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}$ au determinant $a^2 + b^2$ (se comportă ca numerele complexe $a + bi$).
• Ecuația $AX = B$: $X = A^{-1}B$, după ce verifici $\det A \ne 0$.