Matematică · clasa a X-a
Combinatorică: permutări, aranjamente, combinări
„Nu știu când contează ordinea și când nu, deci nu știu ce formulă aleg.”
Semne că blocajul vine de aici
- Folosești combinări când problema cere aranjamente (sau invers).
- Nu știi să calculezi rapid cu factoriale (5!/3!).
- Problemele de tip „câte numere de 3 cifre distincte…” te blochează.
Noțiunea care lipsește de obicei
Înainte să refaci exerciții de tipul acesta, verifică dacă stăpânești noțiunile de mai jos. De cele mai multe ori, blocajul se rezolvă acolo, nu aici.
Explicația, pe scurt
n! = 1 × 2 × … × n este numărul de moduri în care poți ordona n obiecte (permutări). 0! = 1 prin convenție.
Aranjamente A(n, k) = n!/(n − k)!: alegi k obiecte din n ȘI ordinea contează (podium, parole, numere formate din cifre). Combinări C(n, k) = n!/(k!(n − k)!): alegi k obiecte din n și ordinea NU contează (echipe, comisii, submulțimi).
Întrebarea-cheie: dacă schimb ordinea elementelor alese, obțin altceva? Da → aranjamente; nu → combinări. Dacă aleg toate elementele și doar le ordonez → permutări.
Exemplu rezolvat
Dintr-o clasă de 10 elevi se alege un comitet de 3. Câte comitete sunt posibile? Dar dacă cei 3 ocupă funcții diferite (președinte, secretar, casier)?
- 1Comitet fără funcții: ordinea nu contează → C(10, 3) = 10!/(3! × 7!) = (10 × 9 × 8)/(3 × 2 × 1) = 120.
- 2Cu funcții distincte: ordinea contează → A(10, 3) = 10 × 9 × 8 = 720.
- 3Observă: 720 = 120 × 3!, fiecare comitet poate fi ordonat în 6 moduri.
Răspuns: 120 comitete; 720 cu funcții
Verificare rapidă
Răspunsul rămâne doar în pagina ta; nu este trimis sau salvat.
Câte numere de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele 1, 2, 3, 4, 5?
Ce poți învăța în continuare
Noțiunile de mai jos se construiesc pe combinatorică: permutări, aranjamente, combinări. Dacă verificarea a ieșit bine, poți trece la ele.