Rezolvare BAC 2017 Matematică (pedagogic) — Simulare națională, pas cu pas

Rezolvarea completă a simulării pentru clasa a XII-a, Bacalaureat 2017, la Matematică M_pedagogic (filiera vocațională, profilul pedagogic). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Rația progresiei aritmetice cu $a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 14$ și $a_1 = 2$

$a_1 + (a_1 + r) + (a_1 + 2r) + (a_1 + 3r) = 4a_1 + 6r = 14 \iff 8 + 6r = 14 \iff r = 1.$

Răspuns: $r = 1$. Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = x^2 - 5x + 4$; distanța dintre punctele de intersecție ale graficului cu $Ox$

$f(x) = 0 \iff x^2 - 5x + 4 = 0 \iff (x - 1)(x - 4) = 0$, deci punctele $(1, 0)$ și $(4, 0)$. Distanța este $4 - 1 = 3$.

Răspuns: $3$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $2^{x+2} + 2^{x+1} + 2^x = 7$

Dăm factor comun $2^x$:

$2^x(2^2 + 2^1 + 1) = 7 \iff 7\cdot 2^x = 7 \iff 2^x = 1 \iff x = 0.$

Răspuns: $x = 0$. Barem: 3p, 2p.

4. După două creșteri succesive cu câte $10\%$, produsul costă 242 lei. Prețul inițial

După prima scumpire prețul devine $p + \frac{10}{100}p = 1{,}1p$, după a doua $1{,}1\cdot 1{,}1p = 1{,}21p$.

$1{,}21p = 242 \iff p = 200.$

Răspuns: $200$ de lei. Barem: 3p, 2p.

5. $\vec v_1 = m\vec i + 6\vec j$ și $\vec v_2 = 2\vec i + 3\vec j$ coliniari

$\frac m2 = \frac63 \iff m = 4.$

Răspuns: $m = 4$. Barem: 3p, 2p.

6. Aria dreptunghiului $ABCD$ cu $AB = 3$, $AC = 5$

În triunghiul dreptunghic $ABC$ (unghiul drept în $B$): $BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{25 - 9} = 4$.

$\mathcal A_{ABCD} = AB\cdot BC = 3\cdot 4 = 12.$

Răspuns: $12$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Legea asociativă: $x * y = x + y - xy$.

1. $(-1) * 1$

$(-1) * 1 = -1 + 1 - (-1)\cdot 1 = 0 + 1 = 1.$

Barem: 3p, 2p.

2. Legea este comutativă?

$x * y = x + y - xy = y + x - yx = y * x$ pentru orice $x, y$, deci legea este comutativă. Barem: 3p, 2p.

3. $x * y = -(x-1)(y-1) + 1$

$-(x-1)(y-1) + 1 = -(xy - x - y + 1) + 1 = -xy + x + y = x * y.$

Barem: 2p, 3p.

4. $x * x = 0$

$-(x-1)^2 + 1 = 0 \iff (x-1)^2 = 1 \iff x - 1 = \pm 1 \iff x \in \{0, 2\}.$

Răspuns: $x \in \{0, 2\}$. Barem: 3p, 2p.

5. $a * a \ge 1$

$-(a-1)^2 + 1 \ge 1 \iff (a-1)^2 \le 0 \iff a = 1.$

Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p, 2p.

6. $\dfrac{1}{2016} * \dfrac{2}{2016} * \dots * \dfrac{2017}{2016}$

Din 3): $x * 1 = -(x-1)\cdot 0 + 1 = 1$ și $1 * y = 1$ — $1$ este element absorbant.

Printre factori se află $\frac{2016}{2016} = 1$. Folosind asociativitatea, grupăm:

$\left(\frac{1}{2016} * \dots * \frac{2015}{2016}\right) * 1 * \left(\frac{2017}{2016}\right) = 1 * \frac{2017}{2016} = 1.$

Răspuns: $1$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Matricea $A(n) = \begin{pmatrix} 1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix}$, $n \in \mathbb Z$.

1. $\det(A(2017))$

$\det A(2017) = \begin{vmatrix} 1 & 2017\\ 0 & 1\end{vmatrix} = 1\cdot 1 - 2017\cdot 0 = 1.$

Barem: 2p, 3p.

2. $A(-2017) + A(2017) = 2I_2$

$\begin{pmatrix} 1 & -2017\\ 0 & 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2017\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I_2.$

Barem: 3p, 2p.

3. $A(m)\cdot A(n) = A(m + n)$

$\begin{pmatrix} 1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & n\\ 0 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & n + m\\ 0 & 1\end{pmatrix} = A(m + n).$

Barem: 3p, 2p.

4. Suma elementelor matricei $B = A(0) + A(1) + \dots + A(6)$ se divide cu 7

$B = \begin{pmatrix} 7 & 0 + 1 + \dots + 6\\ 0 & 7\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 & 21\\ 0 & 7\end{pmatrix}.$

Suma elementelor: $7 + 21 + 0 + 7 = 35 = 7\cdot 5$, divizibilă cu 7. Barem: 3p, 2p.

5. $A(n)$ este inversabilă

$\det A(n) = 1 \ne 0$ pentru orice $n$ întreg, deci $A(n)$ este inversabilă. Mai mult, din 3), $A(n)\cdot A(-n) = A(0) = I_2$, deci $(A(n))^{-1} = A(-n)$. Barem: 2p, 3p.

6. $X \in \mathcal M_2(\mathbb Z)$ cu $A(2017)\cdot X = A(2018)$

Înmulțim la stânga cu $(A(2017))^{-1} = A(-2017)$:

$X = A(-2017)\cdot A(2018) = A(-2017 + 2018) = A(1) = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}.$

Răspuns: $X = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1\end{pmatrix}$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$r = 1$
I.2	$3$
I.3	$x = 0$
I.4	$200$ de lei
I.5	$m = 4$
I.6	$12$
II.1	$1$
II.4	$x \in \{0, 2\}$
II.5	$a = 1$
II.6	$1$
III.1	$1$
III.6	$X = \begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$

Ce merită reținut din simulare

• Creșteri procentuale succesive se înmulțesc: $+10\%$ de două ori înseamnă $\times 1{,}21$, nu $+20\%$.
• Factor comun la exponențiale: $2^{x+2} + 2^{x+1} + 2^x = 2^x\cdot 7$.
• Element absorbant: dacă apare printre factori, întregul produs este egal cu el.
• Matrice de forma $A(m)A(n) = A(m+n)$: inversa este $A(-n)$, iar ecuațiile matriceale devin calcule cu indici.