Rezolvare BAC 2020 Matematică (tehnologic) — Iunie–Iulie, varianta 6, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2020 la Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie–iulie, varianta 6. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\sqrt3\left(2\sqrt3 + 1\right) - \sqrt3 = 6$

$2\sqrt3\cdot\sqrt3 + \sqrt3 - \sqrt3 = 2\cdot 3 = 6.\ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = x^2 - 4x + 2$: numerele $a$ cu $f(a) = 2$

$a^2 - 4a + 2 = 2 \iff a(a - 4) = 0 \iff a \in \{0, 4\}$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $\sqrt{x - 1} = 3$

$x - 1 = 9 \iff x = 10$, care convine ($\sqrt9 = 3$).

Răspuns: $x = 10$. Barem: 3p, 2p.

4. După o ieftinire cu $10\%$ un obiect costă 180 de lei. Prețul inițial?

$x - \frac{10}{100}x = 180 \iff 0{,}9x = 180 \iff x = 200$.

Răspuns: $200$ de lei. Barem: 3p, 2p.

5. Înălțimea din $C$ în $\triangle ABC$, $A(4,1)$, $B(-4,1)$, $C(0,4)$

$AB$ este orizontală ($y = 1$), iar $C$ are abscisa $0$, egală cu a mijlocului $D(0, 1)$ al lui $AB$; deci $CA = CB = 5$ și $CD \perp AB$ este înălțimea:

$CD = |4 - 1| = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 3p, 2p.

6. Arătați că $\sqrt3\sin 60^\circ - \sqrt2\cos 45^\circ = \frac12$

$\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} - \sqrt2\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac32 - 1 = \frac12.\ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix}1 & 3\\ 0 & 2\end{pmatrix}$

a) $\det A = 1\cdot 2 - 3\cdot 0 = 2$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

b) $A\cdot A = \begin{pmatrix}1 & 9\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, deci $3A - A^2 = \begin{pmatrix}3 & 9\\ 0 & 6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1 & 9\\ 0 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2I_2$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

c) $xA - I_2 = \begin{pmatrix}x - 1 & 3x\\ 0 & 2x - 1\end{pmatrix}$,

$(xA - I_2)^2 = \begin{pmatrix}(x-1)^2 & 9x^2 - 6x\\ 0 & (2x-1)^2\end{pmatrix},\qquad 5A - I_2 = \begin{pmatrix}4 & 15\\ 0 & 9\end{pmatrix}.$

Sistemul: $(x - 1)^2 = 4 \Rightarrow x \in \{-1, 3\}$; $(2x - 1)^2 = 9 \Rightarrow x \in \{-1, 2\}$; $9x^2 - 6x = 15 \Rightarrow x \in \{-1, \frac53\}$. Soluția comună: $x = -1$.

Răspuns: $x = -1$. Barem: 3p, 2p.

2. $x \circ y = x^2 + (x+1)(y+1) + y^2$

a) $3 \circ (-1) = 9 + 4\cdot 0 + 1 = 10$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

b) $x \circ y = x^2 + (x+1)(y+1) + y^2 = y^2 + (y+1)(x+1) + x^2 = y \circ x$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

c) $x \circ 1 = x^2 + 2(x + 1) + 1 = x^2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)^2 + 2 \ge 2$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = (x - 1)\ln x$, $x > 0$

a) $f'(x) = \ln x + (x - 1)\cdot\dfrac1x = 1 - \dfrac1x + \ln x$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

b) $f(1) = 0$, $f'(1) = 1 - 1 + 0 = 0$. Tangenta: $y - f(1) = f'(1)(x - 1)$, adică $y = 0$.

Răspuns: $y = 0$. Barem: 2p, 3p.

c) Pentru $x \in (0, 1]$: $\ln x \le 0$ și $\frac1x \ge 1 \Rightarrow 1 - \frac1x \le 0$. Deci $f'(x) \le 0$ și $f$ este descrescătoare pe $(0, 1]$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = 1 + \dfrac{x}{x^2 + 1} - \dfrac{2}{x^2 + 1}$

a) $(x^2 + 1)f(x) = x^2 + 1 + x - 2 = x^2 + x - 1$, deci

$\int_0^1 (x^2 + x - 1)\,dx = \frac13 + \frac12 - 1 = -\frac16.\ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

b) $F(x) = \int_0^x f(t)\,dt = \left[t + \frac12\ln(t^2 + 1) - 2\,\mathrm{arctg}\,t\right]_0^x = x + \frac12\ln(x^2 + 1) - 2\,\mathrm{arctg}\,x.$

Barem: 3p, 2p.

c) Pentru $x \ne 0$: $f\left(\frac1x\right) = 1 + \dfrac{x}{1 + x^2} - \dfrac{2x^2}{1 + x^2}$, deci

$f(x) + f\left(\tfrac1x\right) = 2 + \frac{2x}{x^2+1} - \frac{2 + 2x^2}{x^2 + 1} = \frac{2x}{x^2 + 1}.$

$\int_1^2\frac{2x}{x^2+1}dx = \ln(x^2 + 1)\Big|_1^2 = \ln 5 - \ln 2 = \ln\frac52.\ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a \in \{0, 4\}$
I.3	$x = 10$
I.4	$200$ lei
I.5	$3$
II.1.c	$x = -1$
III.1.b	$y = 0$
III.2.b	$F(x) = x + \frac12\ln(x^2+1) - 2\,\mathrm{arctg}\,x$

Ce merită reținut din varianta 6

• Egalitatea de matrice dă un sistem: soluția trebuie să verifice toate ecuațiile.
• Semnul derivatei se citește din semnul fiecărui termen pe interval.
• $f(x) + f(1/x)$ se simplifică adesea spectaculos — calculează-l înainte de a integra.