Rezolvare BAC 2019 Matematică (tehnologic) — Sesiune specială, varianta 8, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2019 la Matematică M_tehnologic, sesiunea specială, varianta 8. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\left(1 - \frac13 + \frac14\right) : \left(1 - \frac1{12}\right) = 1$

$1 - \frac13 + \frac14 = \frac{12 - 4 + 3}{12} = \frac{11}{12}$ și $1 - \frac1{12} = \frac{11}{12}$; câtul este $1$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = x^2 + 4$: $f(-2) + f(2) = 4f(0)$

$8 + 8 = 16 = 4\cdot 4$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $\log_8(x^2 - 27) = \log_8(x - 3)^2$

$x^2 - 27 = x^2 - 6x + 9 \iff 6x = 36 \iff x = 6$; verificare: $36 - 27 = 9 = 3^2 > 0$ ✔.

Răspuns: $x = 6$. Barem: 3p, 2p.

4. Probabilitatea ca un număr din $\{10, \dots, 19\}$ să fie par

$p = \frac{5}{10} = \frac12$. Barem: 2p, 2p, 1p.

5. $A(4,3)$, $B(8,3)$; $B$ mijlocul lui $AC$

$8 = \frac{4 + x_C}{2} \Rightarrow x_C = 12$; $3 = \frac{3 + y_C}{2} \Rightarrow y_C = 3$.

Răspuns: $C(12, 3)$. Barem: 3p, 2p.

6. $\cos^230^\circ + \sin^260^\circ - 2\cos30^\circ\sin60^\circ = 0$

Expresia este $(\cos30^\circ - \sin60^\circ)^2 = \left(\frac{\sqrt3}2 - \frac{\sqrt3}2\right)^2 = 0$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $M = \begin{pmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{pmatrix}$, $A(a) = \begin{pmatrix}a & 1\\ 3 & 2\end{pmatrix}$

a) $\det M = 4 - 1 = 3$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

b) $A(a)^2 = \begin{pmatrix}a^2 + 3 & a + 2\\ 3a + 6 & 7\end{pmatrix},\qquad 4A(a) - I_2 = \begin{pmatrix}4a - 1 & 4\\ 12 & 7\end{pmatrix}.$

$a + 2 = 4 \Rightarrow a = 2$; verificare: $a^2 + 3 = 7 = 4a - 1$ ✔, $3a + 6 = 12$ ✔.

Răspuns: $a = 2$. Barem: 2p, 3p.

c) $aA(a) + M = \begin{pmatrix}a^2 + 2 & a + 1\\ 3a + 1 & 2a + 2\end{pmatrix},$ $\det = (a^2 + 2)\cdot 2(a + 1) - (a + 1)(3a + 1) = (a + 1)(2a^2 - 3a + 3).$

$2a^2 - 3a + 3$ are $\Delta = 9 - 24 < 0$, deci nu se anulează; rămâne $a = -1$.

Răspuns: $a = -1$. Barem: 3p, 2p.

2. $f = X^3 - 4X^2 + mX + 2$

a) $f(2) = 8 - 16 + 2m + 2 = 2m - 6$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

b) $E = x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3) = (-2)\cdot 4 = -8 \in \mathbb Z$ (Viète: $s_1 = 4$, $s_3 = -2$), indiferent de $m$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

c) Pentru $m = 3$: $f(2) = 0$, iar $f = (X - 2)(X^2 - 2X - 1)$; $x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm\sqrt2$.

Răspuns: $1 - \sqrt2$, $2$, $1 + \sqrt2$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = 7x^3 - 5x^2 + x + 1$

a) $f'(x) = 21x^2 - 10x + 1 = (3x - 1)(7x - 1)$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

b) $\lim_{x\to+\infty}\frac{xf'(x)}{f(x)} = \lim_{x\to+\infty}\frac{21x^3 - 10x^2 + x}{7x^3 - 5x^2 + x + 1} = \frac{21}{7} = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 2p, 3p.

c) $f' \ge 0$ pe $\left(-\infty, \frac17\right]$, $f' \le 0$ pe $\left[\frac17, \frac13\right]$, deci pe $\left(-\infty, \frac13\right]$ maximul este

$f\left(\tfrac17\right) = \frac{7}{343} - \frac{5}{49} + \frac17 + 1 = \frac{1 - 5 + 7 + 49}{49} = \frac{52}{49}.\ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = \begin{cases}x^2 + 8x - 2, & x \le 0\\ x - 2, & x > 0\end{cases}$

a) Pe $[1, 2]$, $f(x) = x - 2$: $\int_1^2(x - 2)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} - 2x\right)\Big|_1^2 = -2 + \frac32 = -\frac12$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

b) Limitele laterale în $0$: stânga $-2$, dreapta $-2$, iar $f(0) = -2$, deci $f$ este continuă în $0$; pe $(-\infty, 0)$ și $(0, +\infty)$ e continuă (polinomială). O funcție continuă pe $\mathbb R$ admite primitive. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

c) Pe $[-1, 0]$, $x^2 + 8x - 2 = (x + 4)^2 - 18 \le 16 - 18 < 0$, deci

$\mathcal A = \int_{-1}^0(-x^2 - 8x + 2)\,dx = \left(-\frac{x^3}{3} - 4x^2 + 2x\right)\Big|_{-1}^0 = 0 - \left(\frac13 - 4 - 2\right) = \frac{17}{3}.\ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.3	$x = 6$
I.4	$p = \tfrac12$
I.5	$C(12, 3)$
II.1.b	$a = 2$
II.1.c	$a = -1$
II.2.b	$E = -8$
II.2.c	$1 \pm\sqrt2$, $2$
III.1.b	$3$

Ce merită reținut din varianta 8

• Existența primitivelor: o funcție continuă pe un interval admite primitive — verifică continuitatea în punctul de racord.
• Aria pentru $f < 0$: $\mathcal A = -\int f$.
• Expresii de tip $x_1x_2x_3(x_1 + x_2 + x_3)$ se calculează direct cu Viète.