Rezolvare BAC 2020 Matematică (tehnologic) — Sesiune specială, varianta 1, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2020 la Matematică M_tehnologic, sesiunea specială, varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\sqrt5\left(1 + 2\sqrt5\right) - \sqrt5 = 10$

$\sqrt5 + 2\sqrt5\cdot\sqrt5 - \sqrt5 = 2\cdot 5 = 10$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = x^2 - 3x + 1$: arătați că $f(1) = f(2)$

$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$, $f(2) = 4 - 6 + 1 = -1$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $\log_5(x^2 - 21) = \log_5 4$

Injectivitatea logaritmului: $x^2 - 21 = 4 \iff x^2 = 25 \iff x = \pm 5$; pentru ambele $x^2 - 21 = 4 > 0$.

Răspuns: $x \in \{-5, 5\}$. Barem: 3p, 2p.

4. După o scumpire cu $10\%$ un obiect costă 220 de lei. Prețul inițial?

$x + 0{,}1x = 220 \iff 1{,}1x = 220 \iff x = 200$.

Răspuns: $200$ de lei. Barem: 3p, 2p.

5. Mijlocul $M$ al segmentului $AB$, $A(4,8)$, $B(0,4)$

$x_M = \frac{4 + 0}{2} = 2$, $y_M = \frac{8 + 4}{2} = 6$.

Răspuns: $M(2, 6)$. Barem: 3p, 2p.

6. $\angle B = \angle C = 60^\circ$: calculați $\cos A$

$\angle A = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$, deci $\cos A = \frac12$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix}1 & 6\\ -1 & -4\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}$

a) $\det A = -4 + 6 = 2$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

b) $BA = \begin{pmatrix}1 - 2 & 6 - 8\\ 2 - 4 & 12 - 16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1 & -2\\ -2 & -4\end{pmatrix} = -B,$

deci $BA + B = O_2$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

c) $B + nA = \begin{pmatrix}1 + n & 2 + 6n\\ 2 - n & 4 - 4n\end{pmatrix},$ $\det(B + nA) = (1 + n)(4 - 4n) - (2 + 6n)(2 - n) = 4 - 4n^2 - (4 + 10n - 6n^2) = 2n^2 - 10n.$

$\det B = 4 - 4 = 0$, $\det A = 2$: $2n^2 - 10n = 2n \iff 2n(n - 6) = 0$.

Răspuns: $n \in \{0, 6\}$. Barem: 2p, 3p.

2. $x \circ y = x + 2y + 1$

a) $1 \circ (-1) = 1 - 2 + 1 = 0$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

b) $x \circ \left(-\frac12\right) = x - 1 + 1 = x$. $\blacksquare$ Barem: 3p, 2p.

c) Presupunem că există $e$ neutru. Atunci $0 \circ e = 0 \Rightarrow 2e + 1 = 0 \Rightarrow e = -\frac12$, iar $e \circ 0 = 0 \Rightarrow e + 1 = 0 \Rightarrow e = -1$. Contradicție, deci nu există element neutru. $\blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \dfrac{x^2 + 2}{x^2 + 1}$

a) $f'(x) = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x(x^2 + 2)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x(-1)}{(x^2+1)^2} = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}.\ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

b) $\lim\limits_{x\to+\infty}f(x) = 1$, deci asimptota orizontală spre $+\infty$ este $y = 1$. Barem: 3p, 2p.

c) Fie $g(x) = f(x) + \ln(x^2 + 1)$ pe $[0, 1]$:

$g'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2} + \frac{2x}{x^2 + 1} = \frac{2x(x^2 + 1) - 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{2x^3}{(x^2+1)^2} \ge 0,$

deci $g$ este crescătoare: $g(x) \le g(1) = \frac32 + \ln 2 < \frac32 + 1 = \frac52$ (deoarece $\ln 2 < \ln e = 1$). $\blacksquare$

Barem: 3p monotonia, 2p concluzia.

2. $f(x) = \dfrac{e^x}{x + 1}$, $x > -1$

a) $\int_0^2 (x + 1)f(x)\,dx = \int_0^2 e^x\,dx = e^2 - 1.\ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

b) $\dfrac{f'}{f} = (\ln f)'$, iar $f > 0$:

$\int_0^1\frac{f'(x)}{f(x)}dx = \ln\frac{e^x}{x + 1}\Big|_0^1 = \ln\frac e2 - \ln 1 = 1 - \ln 2.\ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

c) În prima integrală, $\dfrac{1}{x + 1} = (\ln(x+1))'$; integrăm prin părți:

$\int_0^1 e^x(\ln(x+1))'dx = e^x\ln(x+1)\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx = e\ln 2 - \int_0^1 e^x\ln(x+1)\,dx.$

Adunând a doua integrală, termenii se reduc: suma este $e\ln 2$. $\blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.3	$x \in \{-5, 5\}$
I.4	$200$ lei
I.5	$M(2, 6)$
I.6	$\cos A = \tfrac12$
II.1.c	$n \in \{0, 6\}$
III.1.b	$y = 1$

Ce merită reținut din varianta 1

• Pentru a arăta că nu există element neutru, găsește două valori diferite pentru $e$ din $0 \circ e = 0$ și $e \circ 0 = 0$.
• Inegalități pe un interval: studiază monotonia funcției diferență/sumă și compară cu valoarea la capăt.
• $\int \frac{f'}{f} = \ln f$ când $f > 0$.