Rezolvare BAC 2021 Matematică (tehnologic) — August–Septembrie, varianta 4, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2021 la Matematică M_tehnologic, sesiunea august–septembrie, varianta 4. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Progresia aritmetică cu $a_1 = 4$, $r = 5$; termenul $a_3$

$a_3 = a_1 + 2r = 4 + 10 = 14.$

Barem: 3p + 2p.

2. $f(x) = x^2 - x - 1$; arătați că $f(0) = f(1)$

$f(0) = -1$, $f(1) = 1 - 1 - 1 = -1$, deci $f(0) = f(1)$. $\blacksquare$

Barem: 2p + 3p.

3. Ecuația $\log_4(3x + 4) = \log_416$

$3x + 4 = 16 \iff x = 4$ (convine).

Barem: 3p + 2p.

4. După o scumpire cu 25%, produsul costă 350 de lei. Prețul inițial?

$x + \frac{25}{100}x = 350 \iff \frac54x = 350 \iff x = 280.$

Răspuns: $280$ de lei. Barem: 3p + 2p.

5. $A(-4,1)$, $B(a,b)$; $O$ este mijlocul lui $AB$

$\frac{-4 + a}{2} = 0 \Rightarrow a = 4,\qquad \frac{1 + b}{2} = 0 \Rightarrow b = -1.$

Barem: 3p + 2p.

6. $\triangle ABC$ isoscel dreptunghic în $A$, cu aria 8; lungimea lui $AB$

$AB = AC$, deci $\mathcal A = \frac{AB^2}{2} = 8 \iff AB^2 = 16 \iff AB = 4$.

Barem: 2p + 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix}5&-2\\-1&1\end{pmatrix}$, $B(x) = \begin{pmatrix}x & -2x\\ 1 & -1\end{pmatrix}$

a) $\det A = 3$

$\det A = 5\cdot1 - (-2)(-1) = 3.$

Barem: 3p + 2p.

b) $3B(2) + B(6) = 4B(3)$

$3\begin{pmatrix}2&-4\\1&-1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}6&-12\\1&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}12&-24\\4&-4\end{pmatrix} = 4\begin{pmatrix}3&-6\\1&-1\end{pmatrix} = 4B(3).$

Barem: 3p + 2p.

c) $x$ cu $\big(B(-x) - B(x)\big)\big(B(-x) + B(x)\big) = A + B(3)$

$B(-x) - B(x) = \begin{pmatrix}-2x & 4x\\0&0\end{pmatrix},\quad B(-x) + B(x) = \begin{pmatrix}0&0\\2&-2\end{pmatrix},$

$\text{produsul} = \begin{pmatrix}8x & -8x\\0&0\end{pmatrix},\qquad A + B(3) = \begin{pmatrix}8&-8\\0&0\end{pmatrix}.$

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p + 2p.

2. Legea $x\circ y = 3x + 4y - 25$

a) $3\circ4 = 0$

$3\circ4 = 9 + 16 - 25 = 0.$

Barem: 3p + 2p.

b) $x$ cu $(2x)\circ x = 5$

$(2x)\circ x = 6x + 4x - 25 = 10x - 25 = 5 \iff x = 3$.

Barem: 3p + 2p.

c) $m$ întreg cu $m^2\circ1 \ge 1\circ m^2$

$m^2\circ1 = 3m^2 - 21$, $1\circ m^2 = 4m^2 - 22$.

$3m^2 - 21 \ge 4m^2 - 22 \iff m^2 \le 1 \iff m \in [-1, 1].$

Răspuns: $m \in \{-1, 0, 1\}$. Barem: 2p + 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:\left(-\frac13,\infty\right)\to\mathbb R$, $f(x) = \dfrac{2x}{3x + 1}$

a) $f'(x) = \dfrac{2}{(3x+1)^2}$

$f'(x) = \frac{2(3x + 1) - 2x\cdot3}{(3x+1)^2} = \frac2{(3x+1)^2}.$

Barem: 3p + 2p.

b) Asimptota orizontală spre $+\infty$

$\lim_{x\to\infty}\frac{2x}{3x + 1} = \lim_{x\to\infty}\frac2{3 + \frac1x} = \frac23.$

Răspuns: $y = \frac23$. Barem: 3p + 2p.

c) $f$ este concavă

$f''(x) = \left(2(3x+1)^{-2}\right)' = -4\cdot3(3x+1)^{-3} = -\frac{12}{(3x+1)^3}.$

Pe $\left(-\frac13,\infty\right)$, $3x + 1 > 0$, deci $f''(x) < 0$: $f$ e concavă. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

2. $f:(0,\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = x^2 + \ln x - 1$

a) $\displaystyle\int_1^4\left(f(x) - \ln x + 1\right)dx = 21$

$\int_1^4x^2dx = \frac{x^3}3\Big|_1^4 = \frac{64 - 1}3 = 21.$

Barem: 3p + 2p.

b) $\displaystyle\int_2^4\frac{x}{f(x) - \ln x}dx = \frac12\ln5$

$\int_2^4\frac{x}{x^2 - 1}dx = \frac12\ln(x^2 - 1)\Big|_2^4 = \frac12(\ln15 - \ln3) = \frac12\ln5.$

Barem: 3p + 2p.

c) $a > 1$ cu $\displaystyle\int_1^a\frac{f(x)}{x^2}dx = \frac{a - \ln a}a$

$\dfrac{f(x)}{x^2} = 1 + \dfrac{\ln x}{x^2} - \dfrac1{x^2}$. Prin părți: $\displaystyle\int_1^a\frac{\ln x}{x^2}dx = -\frac{\ln x}{x}\Big|_1^a + \int_1^a\frac1{x^2}dx$, deci

$\int_1^a\frac{f(x)}{x^2}dx = (a - 1) - \frac{\ln a}a.$

$a - 1 - \dfrac{\ln a}a = 1 - \dfrac{\ln a}a \iff a = 2$ (convine, $a > 1$).

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a_3 = 14$
I.3	$x = 4$
I.4	$280$ lei
I.5	$a = 4$, $b = -1$
I.6	$AB = 4$
II.1.c	$x = 1$
II.2.b	$x = 3$
II.2.c	$m \in \{-1,0,1\}$
III.1.b	$y = \frac23$
III.2.c	$a = 2$

Ce merită reținut din varianta 4

• Concavitate: semnul lui $f''$.
• „După o scumpire cu $p\%$ costă $S$” $\Rightarrow$ prețul inițial $= \frac{S}{1 + p/100}$.
• $\int\frac{\ln x}{x^2}dx$ se face prin părți, cu $\left(-\frac1x\right)' = \frac1{x^2}$.