Subiecte Evaluare Națională 2026 matematică — subiect, barem și rezolvare pas cu pas

Răspunsuri rapide: Subiectul I — c, c, d, c, b, a. Subiectul al II-lea — c, b, d, b, b, a. Subiectul al III-lea — mingea costă 156 de lei, A = 9 · 2ⁿ, OM = √10, AM = 3√3 cm, perimetrul ATND = 26 cm și AQ/QM = 4, aria laterală = 64√2 cm² și distanța = 8√10/5 cm.

Aceasta este varianta 1, dată pe 24 iunie 2026. Proba a durat două ore, cu 10 puncte din oficiu. La Subiectele I și II se punctează doar răspunsul (5 sau 0 puncte), la Subiectul al III-lea se dau puncte și pentru rezolvări parțiale.

Subiectul I (30 de puncte)

1. 12 − 2 · 5

Întâi înmulțirea: 2 · 5 = 10, apoi 12 − 10 = 2. Răspuns c.

2. 40% din 250 de elevi

$\frac{40}{100} \cdot 250 = 100 \text{ băieți}.$ Răspuns c.

3. Suma dintre 10 și opusul lui 10

Opusul lui 10 este −10, iar 10 + (−10) = 0. Răspuns d.

Capcana: „opusul” nu este „inversul” (1/10). Cu inversul ai obține 101/10, adică varianta a.

4. 1,(2) ca fracție ordinară

$1,(2) = 1 + \frac29 = \frac{11}{9}.$ Răspuns c.

5. Proporția (√5 − 1)/2 = x/(√5 + 1)

Produsul mezilor este egal cu produsul extremilor: $2x = (\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1) = 5 - 1 = 4 \Rightarrow x = 2.$ A răspuns corect Andreea. Răspuns b.

6. Diagrama cu mașinile vândute

Din diagramă: ianuarie ≈ 1000, februarie ≈ 2000, martie ≈ 500, aprilie ≈ 2500. Cele mai puține au fost în martie, deci afirmația este adevărată. Răspuns a.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Lungimea lui BC

C este mijlocul lui AD, deci AC = 6 : 2 = 3 cm. BC = AC − AB = 3 − 1 = 2 cm. Răspuns c.

2. Unghiul EAB

Pe dreapta AC, unghiul ∠DCA = 80° este de partea lui D. Unghiul format în C de partea lui B (cealaltă parte a dreptei AC) este 180° − 80° = 100°. Cu AB ∥ CD și secanta EC, ∠EAB este corespondent cu acesta, deci ∠EAB = 100°. Răspuns b.

3. Aria triunghiului ABC

Medianele împart triunghiul în 6 triunghiuri cu arii egale, iar DGC este unul dintre ele: $\mathcal{A}_{ABC} = 6 \cdot 15 = 90 \text{ cm}^2.$ Răspuns d.

4. Aria paralelogramului cu BD ⊥ BC

Luăm BC ca bază; BD este înălțimea corespunzătoare (BD ⊥ BC): $\mathcal{A}_{ABCD} = BC \cdot BD = 12 \text{ cm}^2.$ Răspuns b.

5. Unghiul BCA

Unghiurile ∠BDC și ∠BAC sunt înscrise și subîntind același arc BC, deci ∠BAC = 40°. AC este diametru, deci ∠ABC = 90°. În triunghiul ABC: ∠BCA = 180° − 90° − 40° = 50°. Răspuns b.

6. Volumul piramidei patrulatere regulate

$V = \frac{\mathcal{A}_b \cdot h}{3} = \frac{4^2 \cdot 6}{3} = 32 \text{ cm}^3.$ Răspuns a.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Mingea cumpărată împreună

a) (2p) Dacă sunt n copii, prețul mingii este 18n + 30. Din 18n + 30 = 153 obținem 18n = 123, deci n = 123/18, care nu este număr natural. Mingea nu poate costa 153 de lei.

b) (3p) Prețul se scrie în două feluri: $18n + 30 = 24n - 12 \Rightarrow 6n = 42 \Rightarrow n = 7.$ Mingea costă 18 · 7 + 30 = 156 de lei.

Verificare: 24 · 7 = 168 = 156 + 12. ✔

2. Expresia E(x)

a) (2p) Aducem la numitorul comun (x − 2)(x − 3): $E(x) = \frac{x(x-2) + (x-3) + 7 - 3x}{(x-2)(x-3)} = \frac{x^2 - 4x + 4}{(x-2)(x-3)} = \frac{(x-2)^2}{(x-2)(x-3)} = \frac{x-2}{x-3}.$

b) (3p) E(4) = 2/1 = 2, deci $A = 2^n + 2^{n+3} = 2^n(1 + 2^3) = 9 \cdot 2^n.$ Pentru n ≥ 1, 2ⁿ este par, deci A = 9 · 2ⁿ este multiplu de 9 · 2 = 18.

3. Funcția f(x) = 3x − 6

a) (2p) f(1) = −3, f(3) = 3, deci f(1) + f(3) = 0.

b) (3p) Cu Ox: 3x − 6 = 0 ⇒ A(2, 0). Cu Oy: f(0) = −6 ⇒ B(0, −6). Triunghiul AOB e dreptunghic în O: $AB = \sqrt{2^2 + 6^2} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}.$ OM este mediana corespunzătoare ipotenuzei, deci OM = AB/2 = √10.

4. Cercul cu raza 6 cm

a) (2p) Triunghiul AOB este isoscel (OA = OB = 6), iar OM este mediană, deci și înălțime: OM ⊥ AB. $AM = \sqrt{OA^2 - OM^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt3 \text{ cm}.$

b) (3p) Ducem diametrul BE. Unghiurile ∠BAE și ∠BDE subîntind un diametru, deci au 90°. Atunci AE ⊥ AB și, cum CD ⊥ AB, rezultă AE ∥ CD. Coardele paralele AE și CD „taie” arce egale între ele, deci AC = DE.

În triunghiul BDE, dreptunghic în D: $DE^2 + BD^2 = BE^2 = 12^2 \Rightarrow AC^2 + BD^2 = 144 \text{ cm}^2.$

5. Paralelogramul ABCD (AB = 10 cm, AD = 8 cm)

a) (2p) DN = CD/2 = 5 cm și AT = AB/2 = 5 cm, iar DN ∥ AT. Un patrulater cu două laturi opuse paralele și egale este paralelogram, deci ATND e paralelogram cu laturile 5 cm și 8 cm: $P_{ATND} = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 8 = 26 \text{ cm}.$

b) (3p) Fie S intersecția dreptelor AM și NT. NT ∥ BC (TN e paralelă cu AD), deci în triunghiul ABM, ST este linie mijlocie: ST = BM/2 = 2 cm, de unde SN = 8 − 2 = 6 cm.

Din SN ∥ BM, ΔQNS ∼ ΔQBM: $\frac{QS}{QM} = \frac{SN}{BM} = \frac64 = \frac32 \Rightarrow \frac{SM}{QM} = \frac52.$ S este mijlocul lui AM (T e mijlocul lui AB și ST ∥ BM), deci AM = 2 · SM și AM/QM = 5, adică AQ = 4 · QM: $\frac{AQ}{QM} = 4.$

6. Prisma dreaptă cu baza pătrat (AB = 4 cm, AA′ = 4√2 cm)

a) (2p) $\mathcal{A}_l = 4 \cdot AB \cdot AA' = 4 \cdot 4 \cdot 4\sqrt2 = 64\sqrt2 \text{ cm}^2.$

b) (3p) BD ⊥ AC (diagonalele pătratului) și BD ⊥ AA′, deci BD ⊥ (A′AC). Fie O = AC ∩ BD. Ducem A′P ⊥ C′O, P ∈ C′O. Cum A′P ⊂ (A′AC), A′P ⊥ BD, deci A′P ⊥ (C′BD) și d(A′, (C′BD)) = A′P.

Aria triunghiului A′OC′ (bază A′C′ = 4√2, înălțime AA′ = 4√2) este 16 cm². CO = 2√2, deci $C'O = \sqrt{CO^2 + CC'^2} = \sqrt{8 + 32} = 2\sqrt{10}.$ $A'P = \frac{2 \cdot 16}{2\sqrt{10}} = \frac{16}{\sqrt{10}} = \frac{8\sqrt{10}}{5} \text{ cm}.$

Ce lecții verifică acest subiect

Procente și fracții periodice (I), centrul de greutate și ariile cu mediane (II.3), unghiuri înscrise (II.5, III.4), funcția liniară (III.3), linia mijlocie și asemănarea (III.5), distanța de la un punct la un plan (III.6). Sunt aceleași capitole ca în modelul pentru 2027, deci acest subiect e un antrenament foarte bun pentru simularea din martie.