Model Evaluare Națională 2027 matematică — subiect, barem și rezolvare pas cu pas

Răspunsuri rapide: Subiectul I — B, C, B, C, C, A. Subiectul al II-lea — D, C, B, C, B, A. Subiectul al III-lea — 89 de pixuri, A = 15, C(−2, −4), GN = √37 cm, ∠DAB = 60° și BM = 3 cm, distanța dintre plane = 2 cm.

Modelul are aceeași structură ca la examenul din iunie 2027: două ore, 10 puncte din oficiu, Subiectul I și al II-lea cu câte 6 itemi grilă (5 puncte fiecare, fără punctaj parțial) și Subiectul al III-lea cu 6 probleme de câte 5 puncte (2p la a, 3p la b), unde se punctează și rezolvarea parțială.

Subiectul I (30 de puncte)

1. 16 + 6 · 2

Înmulțirea se face înaintea adunării: 6 · 2 = 12, apoi 16 + 12 = 28. Răspuns B.

Capcana: dacă aduni întâi (16 + 6 = 22, apoi · 2 = 44) ajungi la varianta A.

2. Prețul a 2 kg de mere

6 kg costă 18 lei, deci 1 kg costă 18 : 6 = 3 lei, iar 2 kg costă 6 lei. Răspuns C.

3. Ecuația 2 − x = 8

−x = 8 − 2 = 6, deci x = −6. Răspuns B.

4. Cel mai mare element al mulțimii A

Scriem numerele cu mai multe zecimale ca să le comparăm cifră cu cifră:

• 3,51 = 3,51000…
• 3,5(1) = 3,51111…
• 3,(51) = 3,51515…
• 3,511 = 3,51100…

Primele trei cifre (3,51) sunt la fel; la a treia zecimală 3,(51) are cifra 5, celelalte cel mult 1. Cel mai mare este 3,(51). Răspuns C.

5. Media geometrică a numerelor a = 10√5 și b = 10/√5

$m_g = \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{10\sqrt5 \cdot \frac{10}{\sqrt5}} = \sqrt{100} = 10$ Rezultatul corect l-a obținut Andrei. Răspuns C.

6. Diagrama cu cărțile vândute

Din diagramă: februarie ≈ 2000 de cărți, martie ≈ 500. Un sfert din 2000 este 500, deci enunțul este adevărat. Răspuns A.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Simetricul lui M față de P

Notăm MN = NP = PQ = QR = u. Atunci MP = 2u. Simetricul lui M față de P este punctul X de pe dreaptă, de cealaltă parte a lui P, cu PX = 2u. Cum PR = PQ + QR = 2u, acel punct este R. Răspuns D.

2. Măsura unghiului CAB

În triunghiul ADC, DA ⊥ AC, deci ∠DAC = 90°. Pentru că AB ∥ CD, unghiurile ∠DAB și ∠ADC sunt alterne interne: ∠DAB = 35°. Punctele B și C sunt de o parte și de alta a dreptei DA, deci $\angle CAB = \angle CAD + \angle DAB = 90^\circ + 35^\circ = 125^\circ.$ Răspuns C.

3. Latura AB a triunghiului isoscel

P = AB + AC + BC = 2 · AB + 12 = 32, deci 2 · AB = 20 și AB = 10 cm. Răspuns B.

4. Aria paralelogramului

$\mathcal{A} = AB \cdot AD \cdot \sin(\angle BAD) = 20 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt2}{2} = 100\sqrt2 \text{ cm}^2.$ Răspuns C.

5. Unghiul ABC înscris în cerc

Cele trei arce mici AB, BC și AC sunt egale, deci fiecare are 360° : 3 = 120°. Unghiul ABC este înscris și cuprinde arcul AC (cel care nu conține punctul B): ∠ABC = 120° : 2 = 60°. Răspuns B.

Altfel: triunghiul ABC are laturile egale (coarde corespunzătoare unor arce egale), deci e echilateral.

6. Unghiul dreptelor AC și DD′ în cub

Muchia DD′ este perpendiculară pe planul bazei (ABCD), deci pe orice dreaptă din acest plan, inclusiv pe AC. Unghiul este 90°. Răspuns A.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. Pixurile din cutie

a) (2p) 26 = 5 · 5 + 1, deci la împărțirea în mod egal la 5 copii rămâne 1 pix, nu 4. Prin urmare, în cutie nu pot fi exact 26 de pixuri.

b) (3p) Fie x numărul de pixuri. Din enunț: $x = 5a + 4 \quad\text{și}\quad x = 6b + 5.$ Adunăm 1: x + 1 = 5(a + 1) și x + 1 = 6(b + 1), deci x + 1 este multiplu comun al lui 5 și 6, adică multiplu de [5, 6] = 30.

Din 80 < x < 100 rezultă 81 < x + 1 < 101, iar singurul multiplu de 30 din acest interval este 90. Deci x + 1 = 90 și x = 89 de pixuri.

Verificare: 89 = 5 · 17 + 4 și 89 = 6 · 14 + 5. ✔

2. Expresia E(x)

a) (2p) Descompunem numitorul: x³ − x = x(x − 1)(x + 1). Atunci $\frac{x}{x^3-x} - \frac{1}{x-1} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} - \frac{x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{-x}{(x-1)(x+1)} = \frac{x}{(1-x)(x+1)}.$

b) (3p) Cum x² + 2x + 1 = (x + 1)², obținem $E(x) = \frac{x}{(1-x)(x+1)} \cdot \frac{(x+1)^2}{x} = \frac{x+1}{1-x}.$ Calculăm: E(2) = −3, E(3) = −2, E(4) = −5/3, E(5) = −6/4 = −3/2. Produsul are patru factori negativi, deci e pozitiv: $A = 3 \cdot 2 \cdot \frac53 \cdot \frac32 = 15,$ care este număr natural.

3. Funcția f(x) = x − 2

a) (2p) f(0) = −2 și f(2) = 0, deci f(0) + f(2) = −2.

b) (3p) Intersecția cu Ox: f(x) = 0 ⇒ x = 2, deci A(2, 0). Intersecția cu Oy: f(0) = −2, deci B(0, −2).

A, B, C coliniare înseamnă că C se află pe graficul lui f: f(2a) = a − 3 ⇒ 2a − 2 = a − 3 ⇒ a = −1, deci C(−2, −4).

$\mathcal{A}_{AOB} = \frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{2 \cdot 2}{2} = 2, \qquad \mathcal{A}_{AOC} = \frac{OA \cdot d(C, Ox)}{2} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4 = 2 \cdot \mathcal{A}_{AOB}.$

4. Dreptunghiul ABCD (AB = 9 cm, BC = 6 cm)

a) (2p) În triunghiul ADC, AM și CP sunt mediane (M e mijlocul lui DC, P al lui AD), deci G este centrul de greutate al triunghiului ADC. A treia mediană pleacă din D spre mijlocul lui AC. Diagonalele dreptunghiului se înjumătățesc, deci mijlocul O al lui AC se află pe BD. Atunci D, G, O sunt coliniare și G ∈ BD.

b) (3p) Centrul de greutate împarte mediana DO în raportul DG : GO = 2 : 1, deci DG = (2/3) · DO = (2/3) · (BD/2) = BD/3, adică BG/BD = 2/3.

Ducem GQ ⊥ BC, Q ∈ BC. Atunci GQ ∥ DC și ΔBGQ ∼ ΔBDC: $\frac{GQ}{DC} = \frac{BQ}{BC} = \frac{BG}{BD} = \frac23 \Rightarrow GQ = 6 \text{ cm},\; BQ = 4 \text{ cm}.$ N este mijlocul lui BC, deci BN = 3 cm și NQ = 1 cm. În triunghiul dreptunghic NGQ: $GN = \sqrt{GQ^2 + NQ^2} = \sqrt{36 + 1} = \sqrt{37} \text{ cm}.$

5. Trapezul ABCD (CD = 4 cm, AD = 6 cm, AM = 12 cm)

a) (2p) Triunghiul DAM este dreptunghic în D, deci $\cos(\angle DAM) = \frac{AD}{AM} = \frac{6}{12} = \frac12 \Rightarrow \angle DAB = 60^\circ.$

b) (3p) Ducem înălțimea DN ⊥ AB. În triunghiul dreptunghic AND: DN = AD · sin 60° = 6 · √3/2 = 3√3 cm. $\mathcal{A}_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \cdot DN}{2} = \frac{(AB + 4) \cdot 3\sqrt3}{2} = \frac{57\sqrt3}{2} \Rightarrow AB + 4 = 19 \Rightarrow AB = 15 \text{ cm}.$ Deci BM = AB − AM = 15 − 12 = 3 cm.

6. Piramida cu baza rombul ABCD

a) (2p) Rombul are AD = DC, iar ∠ADC = 60°, deci triunghiul ADC este echilateral cu latura 12 cm. DO este înălțime în acest triunghi: $DO = \frac{12\sqrt3}{2} = 6\sqrt3 \text{ cm}.$

b) (3p) În triunghiul VOD, dreptunghic în O: VD = √(VO² + OD²) = √(36 + 108) = 12 cm. Cum DN = 4 cm, VN = 8 cm și $\frac{VN}{VD} = \frac{8}{12} = \frac23 = \frac{VM}{VA} \Rightarrow MN \parallel AD.$ Din PO = VP/2 rezultă VP = (2/3) · VO, deci VP/VO = 2/3 = VM/VA ⇒ MP ∥ AO.

Planul (MNP) conține două drepte concurente (MN și MP) paralele cu două drepte concurente din (ABC) (AD și AO), deci (MNP) ∥ (ABC). Cum VO ⊥ (ABC), avem VO ⊥ (MNP), iar VO intersectează (MNP) în P: $d\big((MNP), (ABC)\big) = PO = \frac{VO}{3} = 2 \text{ cm}.$

Ce îți spune modelul despre examenul din 2027

• Subiectul I verifică doar calcul rapid: ordinea operațiilor, regula de trei simplă, compararea fracțiilor periodice, radicali și citirea unei diagrame. Aici iei 30 de puncte dacă lucrezi atent.
• Subiectul al II-lea e geometrie „de recunoaștere”: unghiuri cu paralele, arii cu sinus, unghiuri înscrise, perpendicularitate în cub.
• Subiectul al III-lea are două probleme de „rest la împărțire” și expresii, apoi geometrie plană (centrul de greutate, trapez) și spațiu (plane paralele). Punctele b) fac diferența dintre 8 și 10.

Dacă te-ai blocat la III.4 sau III.6, acolo merită o oră cu un profesor: sunt exact tipurile care revin la simulare (16–18 martie 2027) și la examen (24 iunie 2027).