Rezolvare BAC 2015 Matematică M2 (științe ale naturii) — August–Septembrie, varianta 1, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_șt-nat, sesiunea august–septembrie, varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Al doilea termen al progresiei aritmetice cu $a_1 = 1$, $r = 2$

$a_2 = a_1 + r = 1 + 2 = 3.$

Răspuns: $a_2 = 3$. Barem: 3p, 2p.

2. $m$ știind că $A(m, 0)$ aparține graficului lui $f(x) = x + 1$

$f(m) = 0 \iff m + 1 = 0 \iff m = -1$.

Răspuns: $m = -1$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $\log_2(x^2 + 4) = \log_2 8$

$x^2 + 4 = 8 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$ (ambele verifică).

Răspuns: $x \in \{-2, 2\}$. Barem: 2p, 3p.

4. Probabilitatea ca un număr din $M = \{1, 2, \dots, 8\}$ să fie divizibil cu 3

Cazuri posibile: 8. Divizibile cu 3: $3, 6$ — 2.

$p = \frac28 = \frac14.$

Barem: 1p, 2p, 2p.

5. $a$ pentru care $\vec u = (a + 1)\vec i + 4\vec j$ și $\vec v = \vec i + 2\vec j$ sunt coliniari

$\frac{a + 1}{1} = \frac42 \iff a + 1 = 2 \iff a = 1.$

Răspuns: $a = 1$. Barem: 3p, 2p.

6. $\sin 2x = \frac{\sqrt3}{2}$, știind că $\sin x = \frac12$ și $x \in \left(0, \frac\pi2\right)$

Pe $\left(0, \frac\pi2\right)$, $\cos x > 0$: $\cos x = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$.

$\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot\frac12\cdot\frac{\sqrt3}{2} = \frac{\sqrt3}{2}.$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(a) = \begin{pmatrix} a & 3\\ a - 1 & 2\end{pmatrix}$

a) $A(2014) + A(2016) = 2A(2015)$

$A(2014) + A(2016) = \begin{pmatrix} 2014 + 2016 & 6\\ 2013 + 2015 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4030 & 6\\ 4028 & 4\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 2015 & 3\\ 2014 & 2\end{pmatrix} = 2A(2015).$

Barem: 3p, 2p.

b) $a$ cu $\det(A(a)) = 0$

$\det A(a) = 2a - 3(a - 1) = 3 - a = 0 \iff a = 3.$

Răspuns: $a = 3$. Barem: 3p, 2p.

c) Ecuația $\det(A(2) + xA(3)) = 0$

$A(2) + xA(3) = \begin{pmatrix} 2 + 3x & 3 + 3x\\ 1 + 2x & 2 + 2x\end{pmatrix}.$

$\det = (2 + 3x)(2 + 2x) - (3 + 3x)(1 + 2x) = (4 + 10x + 6x^2) - (3 + 9x + 6x^2) = x + 1.$

$x + 1 = 0 \iff x = -1$.

Răspuns: $x = -1$. Barem: 3p, 2p.

2. $x * y = -xy - x - y - 2$

a) $(-1) * 1 = -1$

$(-1) * 1 = 1 + 1 - 1 - 2 = -1.$

Barem: 3p, 2p.

b) $x * y = -(x + 1)(y + 1) - 1$

$-(x+1)(y+1) - 1 = -xy - x - y - 1 - 1 = -xy - x - y - 2 = x * y.$

Barem: 2p, 3p.

c) Ecuația $(x + 2) * (2x - 3) = 5$

$(x + 2) * (2x - 3) = -(x + 3)(2x - 2) - 1 = 5 \iff (x + 3)(2x - 2) = -6 \iff 2x^2 + 4x - 6 = -6 \iff 2x(x + 2) = 0.$

Răspuns: $x \in \{-2, 0\}$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = x^4 - 8x^2 + 16$

a) $f'(x) = 4x(x - 2)(x + 2)$

$f'(x) = 4x^3 - 16x = 4x(x^2 - 4) = 4x(x - 2)(x + 2).$

Barem: 3p, 2p.

b) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x) - x^4}{x^2 + 1}$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{-8x^2 + 16}{x^2 + 1} = -8.$

Răspuns: $-8$. Barem: 2p, 3p.

c) Punctele graficului în care tangenta este paralelă cu $Ox$

Tangentă orizontală $\iff f'(x) = 0 \iff x \in \{-2, 0, 2\}$. Ordonatele: $f(\pm 2) = 16 - 32 + 16 = 0$, $f(0) = 16$.

Răspuns: $(-2, 0)$, $(0, 16)$, $(2, 0)$. Barem: 2p, 3p.

2. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x + 2}{x}$

a) $\displaystyle\int_1^2 xf(x)\,dx = \frac72$

$\int_1^2(x + 2)\,dx = \left(\frac{x^2}{2} + 2x\right)\Big|_1^2 = 6 - \frac52 = \frac72.$

Barem: 3p, 2p.

b) $F(x) = x + 2\ln x + 2015$ este o primitivă a lui $f$

$F'(x) = 1 + \frac2x = \frac{x + 2}{x} = f(x), \quad x > 0.$

Barem: 3p, 2p.

c) Aria delimitată de graficul lui $g(x) = (f(x) - 1)\ln x$, $Ox$, $x = 1$, $x = e$ este 1

$g(x) = \frac2x\ln x \ge 0$ pe $[1, e]$, iar $\frac{2\ln x}{x} = 2\ln x\cdot(\ln x)'$:

$\mathcal A = \int_1^e\frac{2\ln x}{x}\,dx = \ln^2 x\Big|_1^e = 1 - 0 = 1. \ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$a_2 = 3$
I.2	$m = -1$
I.3	$x \in \{-2, 2\}$
I.4	$p = \tfrac14$
I.5	$a = 1$
II.1.b	$a = 3$
II.1.c	$x = -1$
II.2.c	$x \in \{-2, 0\}$
III.1.b	$-8$
III.1.c	$(-2,0)$, $(0,16)$, $(2,0)$

Ce merită reținut din varianta 1

• Tangentă paralelă cu $Ox$ $\iff$ derivata se anulează.
• Legea $-(x+1)(y+1) - 1$: forma factorizată transformă ecuațiile în ecuații algebrice simple.
• $\int\frac{\ln x}{x}dx = \frac{\ln^2 x}{2}$ — tipul $u\cdot u'$.
• $x^4 - 8x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2$: punctele $(\pm 2, 0)$ sunt minime, iar $(0, 16)$ maxim local.