Rezolvare BAC 2015 Matematică M2 (științe ale naturii) — Rezervă, varianta 5, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_șt-nat, sesiunea de rezervă, varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $(2 - 3i)(2 + 3i)$

$(2 - 3i)(2 + 3i) = 4 - 9i^2 = 4 + 9 = 13.$

Răspuns: $13$. Barem: 3p, 2p.

2. $f(f(3))$, $f(x) = 2x - 1$

$f(3) = 5$, $f(5) = 9$.

Răspuns: $9$. Barem: 2p, 3p.

3. Ecuația $\log_3(x^2 + 17) = \log_3 81$

$x^2 + 17 = 81 \iff x^2 = 64 \iff x = \pm 8$ (ambele verifică).

Răspuns: $x \in \{-8, 8\}$. Barem: 2p, 3p.

4. Probabilitatea ca un număr de două cifre să fie divizibil cu 5

Cazuri posibile: 90. Divizibile cu 5: $10, 15, \dots, 95$ — 18.

$p = \frac{18}{90} = \frac15.$

Barem: 1p, 2p, 2p.

5. $A(1, a)$, $B(3, 2)$, $C(2, 1)$ coliniare

$m_{BC} = \dfrac{1 - 2}{2 - 3} = 1$, $m_{AB} = \dfrac{2 - a}{3 - 1} = \dfrac{2 - a}{2}$. Coliniare $\iff m_{AB} = m_{BC} \iff 2 - a = 2 \iff a = 0$.

Răspuns: $a = 0$. Barem: 2p, 3p.

6. $E(x) = \sin\frac x3 + \cos\frac x2$; arătați că $E\left(\frac\pi2\right) = \frac{1 + \sqrt2}{2}$

$E\left(\frac\pi2\right) = \sin\frac\pi6 + \cos\frac\pi4 = \frac12 + \frac{\sqrt2}{2} = \frac{1 + \sqrt2}{2}.$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(a) = \begin{pmatrix} 1 & 2a\\ 2a & 4\end{pmatrix}$

a) $A(1) + A(-1) = 2A(0)$

$\begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & -2\\ -2 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 8\end{pmatrix} = 2\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix} = 2A(0).$

Barem: 3p, 2p.

b) $a$ cu $\det(A(a)) = 0$

$\det A(a) = 4 - 4a^2 = 0 \iff a \in \{-1, 1\}.$

Răspuns: $a \in \{-1, 1\}$. Barem: 3p, 2p.

c) Ecuația $A(2)\cdot X = A(8)$

$A(2) = \begin{pmatrix} 1 & 4\\ 4 & 4\end{pmatrix}$, $\det A(2) = -12 \ne 0$, deci

$(A(2))^{-1} = -\frac{1}{12}\begin{pmatrix} 4 & -4\\ -4 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac13 & \frac13\\ \frac13 & -\frac{1}{12}\end{pmatrix}.$

$X = (A(2))^{-1}A(8) = \begin{pmatrix} -\frac13 & \frac13\\ \frac13 & -\frac{1}{12}\end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 16\\ 16 & 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & -4\\ -1 & 5\end{pmatrix}.$

Verificare: $A(2)X = \begin{pmatrix} 5 - 4 & -4 + 20\\ 20 - 4 & -16 + 20\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 16\\ 16 & 4\end{pmatrix} = A(8)$ ✔.

Răspuns: $X = \begin{pmatrix} 5 & -4\\ -1 & 5\end{pmatrix}$. Barem: 3p, 2p.

2. $x \circ y = 2xy - 6x - 6y + 21$ (asociativă)

a) $(-3)\circ 3 = 3$

$(-3)\circ 3 = -18 + 18 - 18 + 21 = 3.$

Barem: 3p, 2p.

b) $x \circ y = 2(x - 3)(y - 3) + 3$

$2(xy - 3x - 3y + 9) + 3 = 2xy - 6x - 6y + 21.$

Barem: 2p, 3p.

c) $1\circ\sqrt2\circ\sqrt3\circ\dots\circ\sqrt{2015}$

Din b), $x \circ 3 = 3 \circ y = 3$: $3$ este element absorbant. Printre factori apare $\sqrt9 = 3$. Prin asociativitate:

$\left(1\circ\sqrt2\circ\dots\circ\sqrt8\right)\circ 3\circ\left(\sqrt{10}\circ\dots\circ\sqrt{2015}\right) = 3.$

Răspuns: $3$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = 3e^x + x^2$

a) $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{f(x) - f(0)}{x} = 3$

Limita este $f'(0)$; $f'(x) = 3e^x + 2x$, $f'(0) = 3$. Barem: 2p, 3p.

b) Tangenta în punctul de abscisă $x = 0$

$f(0) = 3$, $f'(0) = 3$: $y - 3 = 3x \iff y = 3x + 3$.

Răspuns: $y = 3x + 3$. Barem: 2p, 3p.

c) $f$ este convexă pe $\mathbb R$

$f''(x) = 3e^x + 2 > 0$ pentru orice $x$, deci $f$ este convexă. Barem: 2p, 3p.

2. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = x + \frac1x$

a) $\displaystyle\int_1^3\left(f(x) - \frac1x\right)dx = 4$

$\int_1^3 x\,dx = \frac{x^2}{2}\Big|_1^3 = \frac{9 - 1}{2} = 4.$

Barem: 3p, 2p.

b) $\displaystyle\int_1^2\left(f(x) - \frac1x\right)e^x\,dx = e^2$

Prin părți:

$\int_1^2 xe^x\,dx = xe^x\Big|_1^2 - \int_1^2 e^x\,dx = 2e^2 - e - (e^2 - e) = e^2.$

Barem: 3p, 2p.

c) $a > 1$ știind că aria delimitată de $G_f$, $Ox$, $x = 1$, $x = a$ este $4 + \ln a$

$f > 0$:

$\mathcal A = \int_1^a\left(x + \frac1x\right)dx = \left(\frac{x^2}{2} + \ln x\right)\Big|_1^a = \frac{a^2 - 1}{2} + \ln a.$

$\frac{a^2 - 1}{2} + \ln a = 4 + \ln a \iff a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\ (a > 1).$

Răspuns: $a = 3$. Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$13$
I.2	$9$
I.3	$x \in \{-8, 8\}$
I.4	$p = \tfrac15$
I.5	$a = 0$
II.1.b	$a \in \{-1, 1\}$
II.1.c	$X = \begin{pmatrix}5&-4\\-1&5\end{pmatrix}$
II.2.c	$3$
III.1.b	$y = 3x + 3$
III.2.c	$a = 3$

Ce merită reținut din varianta 5

• $(a - bi)(a + bi) = a^2 + b^2$ — produsul cu conjugatul este real.
• Coliniaritate prin pante: pantele $AB$ și $BC$ trebuie să fie egale.
• Element absorbant ascuns: printre $\sqrt k$ apare $\sqrt 9 = 3$.
• $\int xe^x\,dx = (x - 1)e^x + C$ — merită reținută.