Rezolvare BAC 2016 Matematică M2 (științe ale naturii) — Model oficial, pas cu pas

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2016 la Matematică M_șt-nat (filiera teoretică, profilul real, specializarea științe ale naturii). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Primul termen al progresiei geometrice cu $b_5 = 48$ și $b_8 = 384$

$b_1q^4 = 48$, $b_1q^7 = 384$; împărțind: $q^3 = 8 \Rightarrow q = 2$. Apoi $b_1 = \dfrac{48}{16} = 3$.

Răspuns: $b_1 = 3$. Barem: 3p, 2p.

2. Distanța dintre punctele de intersecție ale graficului lui $f(x) = x^2 - 7x + 6$ cu $Ox$

$x^2 - 7x + 6 = 0 \iff x \in \{1, 6\}$: punctele $(1, 0)$ și $(6, 0)$, la distanța $6 - 1 = 5$.

Răspuns: $5$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $32^x = 16\cdot 2^x$

$2^{5x} = 2^{4 + x} \iff 5x = 4 + x \iff x = 1.$

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p, 2p.

4. Probabilitatea ca $n \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ să verifice $n^2 - 5n + 6 = 0$

$n^2 - 5n + 6 = (n - 2)(n - 3) = 0 \iff n \in \{2, 3\}$: 2 cazuri favorabile din 5.

$p = \frac25.$

Barem: 1p, 2p, 2p.

5. $a$ pentru care $\vec u = (a + 1)\vec i + (a - 1)\vec j$ și $\vec v = 6\vec i + 2\vec j$ sunt coliniari

$\frac{a + 1}{6} = \frac{a - 1}{2} \iff 2a + 2 = 6a - 6 \iff a = 2.$

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p, 2p.

6. $(2\sin x + \cos x)^2 + (\sin x + 2\cos x)^2 - 4\sin 2x = 5$

$(2\sin x + \cos x)^2 = 4\sin^2 x + 4\sin x\cos x + \cos^2 x,$ $(\sin x + 2\cos x)^2 = \sin^2 x + 4\sin x\cos x + 4\cos^2 x.$

Suma: $5(\sin^2 x + \cos^2 x) + 8\sin x\cos x = 5 + 4\sin 2x$. Scăzând $4\sin 2x$ obținem $5$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 4 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 0 & x\\ y & 0\end{pmatrix}$

a) $\det(2A) = -28$

$2A = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 8 & 2\end{pmatrix}, \quad \det(2A) = 4 - 32 = -28.$

Barem: 3p, 2p.

b) $x, y$ cu $A + 2B = I_2$

$A + 2B = \begin{pmatrix} 1 & 2 + 2x\\ 4 + 2y & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \iff x = -1,\ y = -2.$

Răspuns: $x = -1$, $y = -2$. Barem: 2p, 3p.

c) Dacă $AB = BA$, atunci $\det B \le 0$

$AB = \begin{pmatrix} 2y & x\\ y & 4x\end{pmatrix}, \qquad BA = \begin{pmatrix} 4x & x\\ y & 2y\end{pmatrix}.$

$AB = BA \iff 2y = 4x \iff y = 2x$. Atunci

$\det B = -xy = -2x^2 \le 0. \ \blacksquare$

Barem: 2p, 3p.

2. $x \circ y = 3xy + 3x + 3y + 2$

a) $(-1)\circ 1 = -1$

$(-1)\circ 1 = -3 - 3 + 3 + 2 = -1.$

Barem: 3p, 2p.

b) Ecuația $x \circ x = x$

$3x^2 + 6x + 2 = x \iff 3x^2 + 5x + 2 = 0 \iff (3x + 2)(x + 1) = 0.$

Răspuns: $x \in \left\{-1, -\dfrac23\right\}$. Barem: 3p, 2p.

c) Perechile de numere întregi $(a, b)$ cu $a \circ b = 8$

$a \circ b = 3(a + 1)(b + 1) - 1$, deci

$3(a + 1)(b + 1) - 1 = 8 \iff (a + 1)(b + 1) = 3.$

Descompunerile lui 3 în $\mathbb Z$: $1\cdot 3$, $3\cdot 1$, $(-1)(-3)$, $(-3)(-1)$.

Răspuns: $(a, b) \in \{(0, 2), (2, 0), (-2, -4), (-4, -2)\}$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = (x - 2)e^x$

a) $f'(x) = (x - 1)e^x$

$f'(x) = e^x + (x - 2)e^x = (x - 1)e^x.$

Barem: 2p, 3p.

b) Asimptota orizontală spre $-\infty$

$\lim_{x\to-\infty}(x - 2)e^x = \lim_{x\to-\infty}\frac{x - 2}{e^{-x}} \overset{\text{l'H}}{=} \lim_{x\to-\infty}\frac{1}{-e^{-x}} = 0.$

Răspuns: $y = 0$. Barem: 3p, 2p.

c) $f'(x) \ge -1$ pentru orice $x$ real

$f''(x) = e^x + (x - 1)e^x = xe^x$, nul în $x = 0$; $f'' \le 0$ pe $(-\infty, 0]$ și $f'' \ge 0$ pe $[0, +\infty)$. Deci $f'$ are minimul în $0$:

$f'(x) \ge f'(0) = -1. \ \blacksquare$

Barem: 2p, 1p, 2p.

2. $f:(0, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{2x^2 + 1}{x}$

a) $\displaystyle\int_1^2\left(f(x) - \frac1x\right)dx = 3$

$f(x) - \frac1x = 2x$:

$\int_1^2 2x\,dx = x^2\Big|_1^2 = 3.$

Barem: 3p, 2p.

b) $F(x) = x^2 + \ln x + 2016$ este o primitivă a lui $f$

$F'(x) = 2x + \frac1x = \frac{2x^2 + 1}{x} = f(x).$

Barem: 2p, 3p.

c) Volumul corpului obținut prin rotația graficului lui $g = f|_{[1,2]}$ este mai mic decât $14\pi$

$g^2(x) = \left(2x + \frac1x\right)^2 = 4x^2 + 4 + \frac{1}{x^2}.$

$V = \pi\int_1^2\left(4x^2 + 4 + \frac{1}{x^2}\right)dx = \pi\left(\frac{4x^3}{3} + 4x - \frac1x\right)\Big|_1^2 = \pi\left(\frac{28}{3} + 4 + \frac12\right) = \frac{83\pi}{6}.$

Cum $\frac{83}{6} < \frac{84}{6} = 14$, $V < 14\pi$. $\blacksquare$ Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$b_1 = 3$
I.2	$5$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \tfrac25$
I.5	$a = 2$
II.1.b	$x = -1$, $y = -2$
II.2.b	$x \in \{-1, -\tfrac23\}$
II.2.c	$(0,2), (2,0), (-2,-4), (-4,-2)$
III.1.b	$y = 0$
III.2.c	$V = \tfrac{83\pi}{6}$

Ce merită reținut din model

• Progresii geometrice: împarte doi termeni pentru a elimina $b_1$ ($\frac{b_8}{b_5} = q^3$).
• Ecuații exponențiale: aduce totul la aceeași bază ($32 = 2^5$, $16 = 2^4$).
• Ecuații în $\mathbb Z$ de tipul $(a+1)(b+1) = 3$: enumeră toți divizorii, inclusiv negativi.
• Minimul derivatei se găsește cu derivata a doua.