Rezolvare BAC 2016 Matematică M2 (științe ale naturii) — Sesiune specială, varianta 1, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2016 la Matematică M_șt-nat, sesiunea specială, varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $(\sqrt5 + 2)^2 - 4\sqrt5 = 9$

$(\sqrt5 + 2)^2 = 5 + 4\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 \Rightarrow 9 + 4\sqrt5 - 4\sqrt5 = 9.$

Barem: 3p, 2p.

2. $M(m, 4)$ aparține graficului lui $f(x) = x + 2$

$f(m) = 4 \iff m + 2 = 4 \iff m = 2$.

Răspuns: $m = 2$. Barem: 3p, 2p.

3. Ecuația $\log_4(x^2 + 9) = \log_4 25$

$x^2 + 9 = 25 \iff x^2 = 16 \iff x = \pm 4$ (ambele verifică).

Răspuns: $x \in \{-4, 4\}$. Barem: 2p, 3p.

4. Probabilitatea ca un număr din $M = \{1, 2, \dots, 9\}$ să fie divizibil cu 2

Cazuri posibile: 9; numere pare: $2, 4, 6, 8$ — 4.

$p = \frac49.$

Barem: 1p, 2p, 2p.

5. $a$ pentru care $\vec u = (a - 1)\vec i - 3\vec j$ și $\vec v = 2\vec i - 6\vec j$ sunt coliniari

$\frac{a - 1}{2} = \frac{-3}{-6} = \frac12 \iff a - 1 = 1 \iff a = 2.$

Răspuns: $a = 2$. Barem: 3p, 2p.

6. $x \in \left(0, \frac\pi2\right)$, $\cos x = \frac12$; arătați că $\sin 2x = \frac{\sqrt3}{2}$

$\sin x = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (pozitiv în cadranul I), deci

$\sin 2x = 2\sin x\cos x = 2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\cdot\frac12 = \frac{\sqrt3}{2}.$

Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(x) = \begin{pmatrix} 1 + 3x & 2x\\ -6x & 1 - 4x\end{pmatrix}$

a) $\det(A(0)) = 1$

$A(0) = I_2$, deci $\det A(0) = 1$. Barem: 2p, 3p.

b) $A(x)A(y) = A(x + y - xy)$

$A(x)A(y) = \begin{pmatrix} (1+3x)(1+3y) - 12xy & 2y(1 + 3x) + 2x(1 - 4y)\\ -6x(1 + 3y) - 6y(1 - 4x) & -12xy + (1 - 4x)(1 - 4y)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 + 3t & 2t\\ -6t & 1 - 4t\end{pmatrix},$

unde $t = x + y - xy$. (De exemplu: $1 + 3x + 3y + 9xy - 12xy = 1 + 3(x + y - xy)$.) Deci $A(x)A(y) = A(x + y - xy)$. Barem: 3p, 2p.

c) $x$ cu $A(2^x)A(2^x) = A(1)$

Din b): $A(2^x)A(2^x) = A(2\cdot 2^x - 4^x)$. Elementul de pe poziția $(1,2)$, $2t$, determină unic pe $t$, deci

$2\cdot 2^x - 4^x = 1 \iff (2^x - 1)^2 = 0 \iff 2^x = 1 \iff x = 0.$

Răspuns: $x = 0$. Barem: 3p, 2p.

2. $f = X^3 - X^2 + aX + 2$

a) $f(-1) + f(1) = 2$

$f(-1) = -1 - 1 - a + 2 = -a$, $f(1) = 1 - 1 + a + 2 = a + 2$; suma este $2$. Barem: 2p, 3p.

b) $a$ pentru care $f$ se divide cu $X^2 - 2X + 2$

$(X + 1)(X^2 - 2X + 2) = X^3 - X^2 + 2$, deci

$f = (X + 1)(X^2 - 2X + 2) + aX.$

Restul este $aX$, nul $\iff a = 0$.

Răspuns: $a = 0$. Barem: 3p, 2p.

c) $x_1^3 + x_2^3 + x_3^3 + 3(x_1x_2 + x_2x_3 + x_1x_3) = -5$

Viète: $s_1 = 1$, $s_2 = a$, deci $\sum x_i^2 = 1 - 2a$. Fiecare rădăcină verifică $x_i^3 = x_i^2 - ax_i - 2$, deci

$\sum x_i^3 = \sum x_i^2 - a\sum x_i - 6 = 1 - 2a - a - 6 = -3a - 5.$

$\sum x_i^3 + 3s_2 = -3a - 5 + 3a = -5. \ \blacksquare$

Barem: 3p, 1p, 1p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(3, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 11}{x - 3}$

a) $f'(x) = \dfrac{(x - 1)(x - 5)}{(x - 3)^2}$

$f'(x) = \frac{(2x + 2)(x - 3) - (x^2 + 2x - 11)}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x + 5}{(x-3)^2} = \frac{(x-1)(x-5)}{(x-3)^2}.$

Barem: 3p, 2p.

b) Asimptota oblică spre $+\infty$

$m = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 + 2x - 11}{x^2 - 3x} = 1,$

$n = \lim_{x\to+\infty}(f(x) - x) = \lim_{x\to+\infty}\frac{x^2 + 2x - 11 - x^2 + 3x}{x - 3} = \lim_{x\to+\infty}\frac{5x - 11}{x - 3} = 5.$

Răspuns: $y = x + 5$. Barem: 2p, 3p.

c) $f(\pi) > 13$

Pe $(3, 5)$, $(x - 1) > 0$ și $(x - 5) < 0$, deci $f' < 0$ și $f$ este strict descrescătoare. Cum $3 < \pi < 4$ și $f(4) = \frac{16 + 8 - 11}{1} = 13$:

$f(\pi) > f(4) = 13. \ \blacksquare$

Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = (3x + 1)e^x$

a) $\displaystyle\int_0^1\frac{1}{e^x}f(x)\,dx = \frac52$

$\int_0^1(3x + 1)\,dx = \left(\frac{3x^2}{2} + x\right)\Big|_0^1 = \frac32 + 1 = \frac52.$

Barem: 2p, 3p.

b) $m$ pentru care $F(x) = (3x + m)e^x$ este o primitivă a lui $f$

$F'(x) = 3e^x + (3x + m)e^x = (3x + m + 3)e^x.$

$F' = f \iff 3x + m + 3 = 3x + 1$ pentru orice $x$ $\iff m = -2$.

Răspuns: $m = -2$. Barem: 3p, 2p.

c) $a \ne 0$ cu $\displaystyle\int_0^a f(x)\,dx = 3a$

Din b), $\displaystyle\int_0^a f = (3x - 2)e^x\Big|_0^a = (3a - 2)e^a + 2$.

$(3a - 2)e^a + 2 = 3a \iff (3a - 2)e^a - (3a - 2) = 0 \iff (3a - 2)(e^a - 1) = 0.$

$e^a = 1$ dă $a = 0$, exclus; rămâne $a = \frac23$.

Răspuns: $a = \dfrac23$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$m = 2$
I.3	$x \in \{-4, 4\}$
I.4	$p = \tfrac49$
I.5	$a = 2$
II.1.c	$x = 0$
II.2.b	$a = 0$
III.1.b	$y = x + 5$
III.2.b	$m = -2$
III.2.c	$a = \tfrac23$

Ce merită reținut din varianta 1

• Familii $A(x)A(y) = A(x + y - xy)$: ecuațiile matriceale devin ecuații în parametru.
• Suma cuburilor rădăcinilor se calculează înlocuind $x_i^3$ din ecuația polinomului.
• Comparații cu $\pi$: monotonie + o valoare ușor de calculat ($f(4) = 13$).
• Factorizare la final: $(3a - 2)(e^a - 1) = 0$ — grupează termenii cu factor comun.