Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2016 la Matematică M_pedagogic , simularea pentru clasa a XII-a . Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.
Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.
Subiectul I (30 de puncte)
1. Numerele naturale a , b , c a, b, c a , b , c 2016 = 2 a ⋅ 3 b ⋅ 7 c 2016 = 2^a\cdot3^b\cdot7^c 2016 = 2 a ⋅ 3 b ⋅ 7 c
2016 = 2 ⋅ 1008 = 2 5 ⋅ 63 = 2 5 ⋅ 3 2 ⋅ 7 2016 = 2\cdot1008 = 2^5\cdot63 = 2^5\cdot3^2\cdot7 2016 = 2 ⋅ 1008 = 2 5 ⋅ 63 = 2 5 ⋅ 3 2 ⋅ 7
Răspuns: a = 5 a = 5 a = 5 b = 2 b = 2 b = 2 c = 1 c = 1 c = 1 Barem: 2p descompunerea, 3p valorile.
2. Abscisele punctelor de pe graficul lui f ( x ) = 4 x 2 − 3 f(x) = 4x^2 - 3 f ( x ) = 4 x 2 − 3 1 1 1
4 x 2 − 3 = 1 ⟺ x 2 = 1 ⟺ x = ± 1 4x^2 - 3 = 1 \iff x^2 = 1 \iff x = \pm1 4 x 2 − 3 = 1 ⟺ x 2 = 1 ⟺ x = ± 1 Barem: 3p, 2p.
3. Ecuația 3 x + 10 − 2 x = 4 − x \sqrt{3x + 10} - 2x = 4 - x 3 x + 10 − 2 x = 4 − x
3 x + 10 = x + 4 \sqrt{3x + 10} = x + 4 3 x + 10 = x + 4 x + 4 ≥ 0 x + 4 \ge 0 x + 4 ≥ 0
3 x + 10 = x 2 + 8 x + 16 ⟺ x 2 + 5 x + 6 = 0 ⟺ x ∈ { − 3 , − 2 } . 3x + 10 = x^2 + 8x + 16 \iff x^2 + 5x + 6 = 0 \iff x \in \{-3, -2\}. 3 x + 10 = x 2 + 8 x + 16 ⟺ x 2 + 5 x + 6 = 0 ⟺ x ∈ { − 3 , − 2 } .
Ambele verifică (1 = 1 \sqrt1 = 1 1 = 1 4 = 2 \sqrt4 = 2 4 = 2 Răspuns: x ∈ { − 3 , − 2 } x \in \{-3, -2\} x ∈ { − 3 , − 2 } Barem: 3p, 2p.
4. Probabilitatea ca un număr de două cifre să aibă suma cifrelor ≤ 10 \le 10 ≤ 10
Pentru cifra zecilor a = 1 , 2 , … , 9 a = 1, 2, \dots, 9 a = 1 , 2 , … , 9 b ≤ 10 − a b \le 10 - a b ≤ 10 − a b ≤ 9 b \le 9 b ≤ 9 10 , 9 , 8 , … , 2 10, 9, 8, \dots, 2 10 , 9 , 8 , … , 2
10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 54 ⇒ p = 54 90 = 3 5 . 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 54 \Rightarrow p = \frac{54}{90} = \frac35. 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 = 54 ⇒ p = 90 54 = 5 3 .
Barem: 1p, 2p, 2p.
5. Simetricul lui A ( − 1 , 2 ) A(-1,2) A ( − 1 , 2 ) B ( 3 , 5 ) B(3,5) B ( 3 , 5 )
x C = 2 ⋅ 3 + 1 = 7 x_C = 2\cdot3 + 1 = 7 x C = 2 ⋅ 3 + 1 = 7 y C = 2 ⋅ 5 − 2 = 8 y_C = 2\cdot5 - 2 = 8 y C = 2 ⋅ 5 − 2 = 8 Răspuns: C ( 7 , 8 ) C(7, 8) C ( 7 , 8 ) Barem: 3p, 2p.
6. Ipotenuza B C BC B C 72 72 72 sin C = 0,8 \sin C = 0{,}8 sin C = 0 , 8
sin C = A B B C = 4 5 ⇒ A B = 4 5 B C \sin C = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac45 \Rightarrow AB = \dfrac45BC sin C = B C A B = 5 4 ⇒ A B = 5 4 B C A C = 3 5 B C AC = \dfrac35BC A C = 5 3 B C
4 5 B C + 3 5 B C + B C = 72 ⟺ 12 5 B C = 72 ⟺ B C = 30. \frac45BC + \frac35BC + BC = 72 \iff \frac{12}{5}BC = 72 \iff BC = 30. 5 4 B C + 5 3 B C + B C = 72 ⟺ 5 12 B C = 72 ⟺ B C = 30.
Răspuns: B C = 30 BC = 30 B C = 30 Barem: 1p, 2p, 2p.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
Legea pe R \mathbb R R x ∘ y = x y + x + y x\circ y = xy + x + y x ∘ y = x y + x + y
1. ( − 2 ) ∘ 2 (-\sqrt2)\circ\sqrt2 ( − 2 ) ∘ 2
− 2 − 2 + 2 = − 2. -2 - \sqrt2 + \sqrt2 = -2. − 2 − 2 + 2 = − 2.
Barem: 3p, 2p.
2. x ∘ y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 x\circ y = (x+1)(y+1) - 1 x ∘ y = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1
x y + x + y + 1 − 1 = x ( y + 1 ) + ( y + 1 ) − 1 = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1. xy + x + y + 1 - 1 = x(y + 1) + (y + 1) - 1 = (x+1)(y+1) - 1. x y + x + y + 1 − 1 = x ( y + 1 ) + ( y + 1 ) − 1 = ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1.
Barem: 2p, 3p.
3. Ecuația x 2 ∘ x = − 1 x^2\circ x = -1 x 2 ∘ x = − 1
( x 2 + 1 ) ( x + 1 ) = 0 (x^2 + 1)(x + 1) = 0 ( x 2 + 1 ) ( x + 1 ) = 0 x 2 + 1 > 0 x^2 + 1 > 0 x 2 + 1 > 0 x = − 1 x = -1 x = − 1 Barem: 3p, 2p.
4. Legea este asociativă
( x ∘ y ) ∘ z = ( x + 1 ) ( y + 1 ) ( z + 1 ) − 1 = x ∘ ( y ∘ z ) . (x\circ y)\circ z = (x+1)(y+1)(z+1) - 1 = x\circ(y\circ z). ( x ∘ y ) ∘ z = ( x + 1 ) ( y + 1 ) ( z + 1 ) − 1 = x ∘ ( y ∘ z ) .
Răspuns: da. Barem: 2p, 3p.
5. n ∘ n n\circ n n ∘ n n n n
n = 2 k n = 2k n = 2 k n ∘ n = ( 2 k + 1 ) 2 − 1 = 4 k 2 + 4 k = 4 k ( k + 1 ) n\circ n = (2k + 1)^2 - 1 = 4k^2 + 4k = 4k(k+1) n ∘ n = ( 2 k + 1 ) 2 − 1 = 4 k 2 + 4 k = 4 k ( k + 1 ) k ( k + 1 ) k(k+1) k ( k + 1 ) n ∘ n n\circ n n ∘ n 8 8 8 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
6. Exemplu de numere iraționale a , b a, b a , b a ∘ b ∈ N a\circ b \in \mathbb N a ∘ b ∈ N
a ∘ b ∈ N ⟺ ( a + 1 ) ( b + 1 ) − 1 ∈ N a\circ b \in \mathbb N \iff (a+1)(b+1) - 1 \in \mathbb N a ∘ b ∈ N ⟺ ( a + 1 ) ( b + 1 ) − 1 ∈ N a = 2 − 1 a = \sqrt2 - 1 a = 2 − 1 b = 2 2 − 1 b = 2\sqrt2 - 1 b = 2 2 − 1
a ∘ b = 2 ⋅ 2 2 − 1 = 4 − 1 = 3 ∈ N . a\circ b = \sqrt2\cdot2\sqrt2 - 1 = 4 - 1 = 3 \in \mathbb N. a ∘ b = 2 ⋅ 2 2 − 1 = 4 − 1 = 3 ∈ N .
Barem: 3p, 2p.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
A ( x ) = ( x x − 1 1 2 ) A(x) = \begin{pmatrix}x & x - 1\\1 & 2\end{pmatrix} A ( x ) = ( x 1 x − 1 2 ) det A ( x ) = 2 x − ( x − 1 ) = x + 1 \det A(x) = 2x - (x - 1) = x + 1 det A ( x ) = 2 x − ( x − 1 ) = x + 1
1. det ( A ( 2 ) ) \det(A(2)) det ( A ( 2 ))
det ( 2 1 1 2 ) = 3 \det\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} = 3 det ( 2 1 1 2 ) = 3 Barem: 2p, 3p.
2. A ( 1 ) + A ( 3 ) = 2 A ( 2 ) A(1) + A(3) = 2A(2) A ( 1 ) + A ( 3 ) = 2 A ( 2 )
( 1 0 1 2 ) + ( 3 2 1 2 ) = ( 4 2 2 4 ) = 2 A ( 2 ) . \begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}3&2\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4&2\\2&4\end{pmatrix} = 2A(2). ( 1 1 0 2 ) + ( 3 1 2 2 ) = ( 4 2 2 4 ) = 2 A ( 2 ) .
Barem: 3p, 2p.
3. n ∈ N n \in \mathbb N n ∈ N ∣ det ( A ( n ) ) ∣ = 1 − 2 n |\det(A(n))| = 1 - 2n ∣ det ( A ( n )) ∣ = 1 − 2 n
∣ n + 1 ∣ = n + 1 = 1 − 2 n ⟺ 3 n = 0 ⟺ n = 0 |n + 1| = n + 1 = 1 - 2n \iff 3n = 0 \iff n = 0 ∣ n + 1∣ = n + 1 = 1 − 2 n ⟺ 3 n = 0 ⟺ n = 0 Răspuns: n = 0 n = 0 n = 0 Barem: 2p, 3p.
4. x x x det ( x A ( x ) − 2 I 2 ) ≥ 0 \det(xA(x) - 2I_2) \ge 0 det ( x A ( x ) − 2 I 2 ) ≥ 0
x A ( x ) − 2 I 2 = ( x 2 − 2 x 2 − x x 2 x − 2 ) , xA(x) - 2I_2 = \begin{pmatrix}x^2 - 2 & x^2 - x\\x & 2x - 2\end{pmatrix}, x A ( x ) − 2 I 2 = ( x 2 − 2 x x 2 − x 2 x − 2 ) ,
det = ( x 2 − 2 ) ( 2 x − 2 ) − x ( x 2 − x ) = x 3 − x 2 − 4 x + 4 = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) . \det = (x^2 - 2)(2x - 2) - x(x^2 - x) = x^3 - x^2 - 4x + 4 = (x - 1)(x - 2)(x + 2). det = ( x 2 − 2 ) ( 2 x − 2 ) − x ( x 2 − x ) = x 3 − x 2 − 4 x + 4 = ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x + 2 ) .
Semnul: negativ pe ( − ∞ , − 2 ) (-\infty, -2) ( − ∞ , − 2 ) ( − 2 , 1 ) (-2, 1) ( − 2 , 1 ) ( 1 , 2 ) (1, 2) ( 1 , 2 ) ( 2 , + ∞ ) (2, +\infty) ( 2 , + ∞ )
Răspuns: x ∈ [ − 2 , 1 ] ∪ [ 2 , + ∞ ) x \in [-2, 1]\cup[2, +\infty) x ∈ [ − 2 , 1 ] ∪ [ 2 , + ∞ ) Barem: 3p determinantul, 2p soluția.
5. A ( x 2 ) A(x^2) A ( x 2 ) x x x
det A ( x 2 ) = x 2 + 1 > 0 \det A(x^2) = x^2 + 1 > 0 det A ( x 2 ) = x 2 + 1 > 0 ■ \blacksquare ■ Barem: 3p, 2p.
6. X X X 2 X + 3 A ( 1 ) = 4 A ( 2 ) 2X + 3A(1) = 4A(2) 2 X + 3 A ( 1 ) = 4 A ( 2 )
2 X = 4 ( 2 1 1 2 ) − 3 ( 1 0 1 2 ) = ( 5 4 1 2 ) ⇒ X = ( 5 2 2 1 2 1 ) . 2X = 4\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix} - 3\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5&4\\1&2\end{pmatrix} \Rightarrow X = \begin{pmatrix}\frac52 & 2\\\frac12 & 1\end{pmatrix}. 2 X = 4 ( 2 1 1 2 ) − 3 ( 1 1 0 2 ) = ( 5 1 4 2 ) ⇒ X = ( 2 5 2 1 2 1 ) .
Barem: 3p, 2p.
Rezumatul răspunsurilor
Cerință Răspuns I.1 a = 5 a = 5 a = 5 b = 2 b = 2 b = 2 c = 1 c = 1 c = 1 I.2 x = ± 1 x = \pm1 x = ± 1 I.3 x ∈ { − 3 , − 2 } x \in \{-3, -2\} x ∈ { − 3 , − 2 } I.4 p = 3 5 p = \frac35 p = 5 3 I.5 C ( 7 , 8 ) C(7, 8) C ( 7 , 8 ) I.6 B C = 30 BC = 30 B C = 30 II.1 − 2 -2 − 2 II.3 x = − 1 x = -1 x = − 1 II.6 ex. a = 2 − 1 a = \sqrt2 - 1 a = 2 − 1 b = 2 2 − 1 b = 2\sqrt2 - 1 b = 2 2 − 1 III.1 3 3 3 III.3 n = 0 n = 0 n = 0 III.4 [ − 2 , 1 ] ∪ [ 2 , + ∞ ) [-2, 1]\cup[2, +\infty) [ − 2 , 1 ] ∪ [ 2 , + ∞ ) III.6 X = ( 5 2 2 1 2 1 ) X = \begin{pmatrix}\frac52&2\\\frac12&1\end{pmatrix} X = ( 2 5 2 1 2 1 )
Ce merită reținut din simulare
Descompunerea în factori primi rezolvă direct ecuațiile de tipul 2 a 3 b 7 c = N 2^a3^b7^c = N 2 a 3 b 7 c = N Legea ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 (x+1)(y+1) - 1 ( x + 1 ) ( y + 1 ) − 1 : alegerea a + 1 a + 1 a + 1 b + 1 b + 1 b + 1 Produsul a două numere consecutive este par — argument standard pentru divizibilitate.Inecuații polinomiale : factorizează și fă tabelul de semn.