Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2017 la Matematică M_tehnologic , sesiunea iunie–iulie, varianta 2 . Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.
Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.
Subiectul I (30 de puncte)
1. Arătați că ( 2 + 1 2 ) ⋅ 4 5 = 2 \left(2 + \frac12\right)\cdot\frac45 = 2 ( 2 + 2 1 ) ⋅ 5 4 = 2
2 + 1 2 = 5 2 , 5 2 ⋅ 4 5 = 20 10 = 2. 2 + \frac12 = \frac52, \qquad \frac52\cdot\frac45 = \frac{20}{10} = 2. 2 + 2 1 = 2 5 , 2 5 ⋅ 5 4 = 10 20 = 2.
Barem: 3p paranteza, 2p produsul.
2. Arătați că x 1 + x 2 − 1 x 1 x 2 = 1 \dfrac{x_1 + x_2 - 1}{x_1x_2} = 1 x 1 x 2 x 1 + x 2 − 1 = 1 x 2 − 4 x + 3 = 0 x^2 - 4x + 3 = 0 x 2 − 4 x + 3 = 0
Relațiile lui Viète: x 1 + x 2 = 4 x_1 + x_2 = 4 x 1 + x 2 = 4 x 1 x 2 = 3 x_1x_2 = 3 x 1 x 2 = 3
x 1 + x 2 − 1 x 1 x 2 = 4 − 1 3 = 1. \frac{x_1 + x_2 - 1}{x_1x_2} = \frac{4 - 1}{3} = 1. x 1 x 2 x 1 + x 2 − 1 = 3 4 − 1 = 1.
Barem: 2p Viète, 3p calculul.
3. Ecuația 2 x + 1 = 8 2^{x+1} = 8 2 x + 1 = 8
8 = 2 3 8 = 2^3 8 = 2 3 x + 1 = 3 ⟺ x = 2 x + 1 = 3 \iff x = 2 x + 1 = 3 ⟺ x = 2
Răspuns: x = 2 x = 2 x = 2 Barem: 3p egalarea exponenților, 2p soluția.
4. Probabilitatea ca un număr din A = { 1 , 2 , … , 9 } A = \{1, 2, \dots, 9\} A = { 1 , 2 , … , 9 }
Cazuri posibile: 9 .
Multipli de 4: 4 4 4 8 8 8 2 .
p = 2 9 . p = \frac29. p = 9 2 .
Barem: 2p posibile, 2p favorabile, 1p probabilitatea.
5. Perimetrul triunghiului O A B OAB O A B A ( 0 , 3 ) A(0,3) A ( 0 , 3 ) B ( 4 , 0 ) B(4,0) B ( 4 , 0 )
A O = 3 , B O = 4 , A B = ( 4 − 0 ) 2 + ( 0 − 3 ) 2 = 5. AO = 3, \quad BO = 4, \quad AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = 5. A O = 3 , B O = 4 , A B = ( 4 − 0 ) 2 + ( 0 − 3 ) 2 = 5.
P O A B = 3 + 4 + 5 = 12. P_{OAB} = 3 + 4 + 5 = 12. P O A B = 3 + 4 + 5 = 12.
Răspuns: 12 12 12 Barem: 3p laturile, 2p perimetrul.
6. Arătați că sin 2 150 ∘ + sin 2 60 ∘ = 1 \sin^2 150^\circ + \sin^2 60^\circ = 1 sin 2 15 0 ∘ + sin 2 6 0 ∘ = 1
sin 150 ∘ = sin ( 180 ∘ − 30 ∘ ) = sin 30 ∘ = 1 2 \sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \dfrac12 sin 15 0 ∘ = sin ( 18 0 ∘ − 3 0 ∘ ) = sin 3 0 ∘ = 2 1 sin 60 ∘ = 3 2 \sin 60^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2} sin 6 0 ∘ = 2 3
1 4 + 3 4 = 1. \frac14 + \frac34 = 1. 4 1 + 4 3 = 1.
Barem: 3p valorile, 2p calculul.
Subiectul al II-lea (30 de puncte)
1. A = ( 3 2 2 3 ) A = \begin{pmatrix}3&2\\2&3\end{pmatrix} A = ( 3 2 2 3 ) B = ( 1 1 1 a ) B = \begin{pmatrix}1&1\\1&a\end{pmatrix} B = ( 1 1 1 a )
a) det A = 5 \det A = 5 det A = 5
det A = 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 9 − 4 = 5. \det A = 3\cdot3 - 2\cdot2 = 9 - 4 = 5. det A = 3 ⋅ 3 − 2 ⋅ 2 = 9 − 4 = 5.
Barem: 3p formula, 2p calculul.
b) a a a B ⋅ B = 2 B B\cdot B = 2B B ⋅ B = 2 B
B ⋅ B = ( 2 a + 1 a + 1 a 2 + 1 ) , 2 B = ( 2 2 2 2 a ) . B\cdot B = \begin{pmatrix}2 & a+1\\a+1 & a^2+1\end{pmatrix}, \qquad 2B = \begin{pmatrix}2 & 2\\2 & 2a\end{pmatrix}. B ⋅ B = ( 2 a + 1 a + 1 a 2 + 1 ) , 2 B = ( 2 2 2 2 a ) .
Din a + 1 = 2 a + 1 = 2 a + 1 = 2 a = 1 a = 1 a = 1 a 2 + 1 = 2 = 2 a a^2 + 1 = 2 = 2a a 2 + 1 = 2 = 2 a
Răspuns: a = 1 a = 1 a = 1 Barem: 2p B ⋅ B B\cdot B B ⋅ B a a a
c) det ( A ⋅ B − B ⋅ A ) ≥ 0 \det(A\cdot B - B\cdot A) \ge 0 det ( A ⋅ B − B ⋅ A ) ≥ 0
A B = ( 5 3 + 2 a 5 2 + 3 a ) , B A = ( 5 5 3 + 2 a 2 + 3 a ) , A B − B A = ( 0 2 a − 2 2 − 2 a 0 ) . AB = \begin{pmatrix}5 & 3 + 2a\\5 & 2 + 3a\end{pmatrix}, \quad BA = \begin{pmatrix}5 & 5\\3 + 2a & 2 + 3a\end{pmatrix}, \quad AB - BA = \begin{pmatrix}0 & 2a - 2\\2 - 2a & 0\end{pmatrix}. A B = ( 5 5 3 + 2 a 2 + 3 a ) , B A = ( 5 3 + 2 a 5 2 + 3 a ) , A B − B A = ( 0 2 − 2 a 2 a − 2 0 ) .
det ( A B − B A ) = 0 − ( 2 a − 2 ) ( 2 − 2 a ) = ( 2 a − 2 ) 2 ≥ 0. \det(AB - BA) = 0 - (2a-2)(2-2a) = (2a-2)^2 \ge 0. det ( A B − B A ) = 0 − ( 2 a − 2 ) ( 2 − 2 a ) = ( 2 a − 2 ) 2 ≥ 0.
Barem: 3p diferența, 2p determinantul.
2. Legea x ∘ y = x y − 3 x − 3 y + 12 x \circ y = xy - 3x - 3y + 12 x ∘ y = x y − 3 x − 3 y + 12
a) 1 ∘ 3 = 3 1 \circ 3 = 3 1 ∘ 3 = 3
1 ∘ 3 = 3 − 3 − 9 + 12 = 3. 1\circ 3 = 3 - 3 - 9 + 12 = 3. 1 ∘ 3 = 3 − 3 − 9 + 12 = 3.
Barem: 3p înlocuirea, 2p calculul.
b) x ∘ y = ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3 x \circ y = (x-3)(y-3) + 3 x ∘ y = ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3
x ∘ y = x y − 3 x − 3 y + 9 + 3 = x ( y − 3 ) − 3 ( y − 3 ) + 3 = ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3. x\circ y = xy - 3x - 3y + 9 + 3 = x(y-3) - 3(y-3) + 3 = (x-3)(y-3) + 3. x ∘ y = x y − 3 x − 3 y + 9 + 3 = x ( y − 3 ) − 3 ( y − 3 ) + 3 = ( x − 3 ) ( y − 3 ) + 3.
Barem: 2p rescrierea, 3p factorizarea.
c) ( x ∘ x ) ∘ x = 3 (x\circ x)\circ x = 3 ( x ∘ x ) ∘ x = 3
x ∘ x = ( x − 3 ) 2 + 3 x\circ x = (x-3)^2 + 3 x ∘ x = ( x − 3 ) 2 + 3 ( x ∘ x ) ∘ x = ( x − 3 ) 2 ( x − 3 ) + 3 = ( x − 3 ) 3 + 3 (x\circ x)\circ x = (x-3)^2(x-3) + 3 = (x-3)^3 + 3 ( x ∘ x ) ∘ x = ( x − 3 ) 2 ( x − 3 ) + 3 = ( x − 3 ) 3 + 3
( x − 3 ) 3 + 3 = 3 ⟺ ( x − 3 ) 3 = 0 ⟺ x = 3. (x-3)^3 + 3 = 3 \iff (x-3)^3 = 0 \iff x = 3. ( x − 3 ) 3 + 3 = 3 ⟺ ( x − 3 ) 3 = 0 ⟺ x = 3.
Răspuns: x = 3 x = 3 x = 3 Barem: 3p expresia, 2p soluția.
Subiectul al III-lea (30 de puncte)
1. f ( x ) = x 3 + 6 x + 2 f(x) = x^3 + 6x + 2 f ( x ) = x 3 + 6 x + 2
a) f ′ ( x ) = 3 ( x 2 + 2 ) f'(x) = 3(x^2 + 2) f ′ ( x ) = 3 ( x 2 + 2 )
f ′ ( x ) = 3 x 2 + 6 = 3 ( x 2 + 2 ) . f'(x) = 3x^2 + 6 = 3(x^2 + 2). f ′ ( x ) = 3 x 2 + 6 = 3 ( x 2 + 2 ) .
Barem: 2p derivarea, 3p forma finală.
b) lim x → 0 f ′ ( x ) x + 2 = 3 \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{f'(x)}{x+2} = 3 x → 0 lim x + 2 f ′ ( x ) = 3
lim x → 0 3 ( x 2 + 2 ) x + 2 = 3 ⋅ 2 2 = 3. \lim_{x\to0}\frac{3(x^2+2)}{x+2} = \frac{3\cdot 2}{2} = 3. lim x → 0 x + 2 3 ( x 2 + 2 ) = 2 3 ⋅ 2 = 3.
Barem: 2p înlocuirea, 3p calculul.
c) − 5 ≤ f ( x ) ≤ 9 -5 \le f(x) \le 9 − 5 ≤ f ( x ) ≤ 9 x ∈ [ − 1 , 1 ] x \in [-1, 1] x ∈ [ − 1 , 1 ]
f ′ ( x ) = 3 ( x 2 + 2 ) > 0 f'(x) = 3(x^2 + 2) > 0 f ′ ( x ) = 3 ( x 2 + 2 ) > 0 f f f [ − 1 , 1 ] [-1,1] [ − 1 , 1 ]
f ( − 1 ) = − 1 − 6 + 2 = − 5 ≤ f ( x ) ≤ f ( 1 ) = 1 + 6 + 2 = 9. ■ f(-1) = -1 - 6 + 2 = -5 \le f(x) \le f(1) = 1 + 6 + 2 = 9. \ \blacksquare f ( − 1 ) = − 1 − 6 + 2 = − 5 ≤ f ( x ) ≤ f ( 1 ) = 1 + 6 + 2 = 9. ■
Barem: 2p monotonia, 3p concluzia.
2. f ( x ) = 4 x 3 − x f(x) = 4x^3 - x f ( x ) = 4 x 3 − x
a) ∫ 0 1 ( f ( x ) + x ) d x = 1 \displaystyle\int_0^1 (f(x) + x)\,dx = 1 ∫ 0 1 ( f ( x ) + x ) d x = 1
∫ 0 1 4 x 3 d x = x 4 ∣ 0 1 = 1. \int_0^1 4x^3\,dx = x^4\Big|_0^1 = 1. ∫ 0 1 4 x 3 d x = x 4 0 1 = 1.
Barem: 2p simplificarea, 3p calculul.
b) ∫ 0 1 ( 4 x 3 − f ( x ) ) e x d x = 1 \displaystyle\int_0^1 (4x^3 - f(x))e^x\,dx = 1 ∫ 0 1 ( 4 x 3 − f ( x )) e x d x = 1
4 x 3 − f ( x ) = x 4x^3 - f(x) = x 4 x 3 − f ( x ) = x
∫ 0 1 x e x d x = ( x − 1 ) e x ∣ 0 1 = 0 − ( − 1 ) = 1. \int_0^1 xe^x\,dx = (x-1)e^x\Big|_0^1 = 0 - (-1) = 1. ∫ 0 1 x e x d x = ( x − 1 ) e x 0 1 = 0 − ( − 1 ) = 1.
Barem: 2p simplificarea, 3p integrarea prin părți.
c) Aria între grafic, O x Ox O x x = 1 x = 1 x = 1 x = 3 x = 3 x = 3
Pe [ 1 , 3 ] [1,3] [ 1 , 3 ] f ( x ) = x ( 4 x 2 − 1 ) > 0 f(x) = x(4x^2 - 1) > 0 f ( x ) = x ( 4 x 2 − 1 ) > 0
A = ∫ 1 3 ( 4 x 3 − x ) d x = ( x 4 − x 2 2 ) ∣ 1 3 = ( 81 − 9 2 ) − ( 1 − 1 2 ) = 76. \mathcal A = \int_1^3 (4x^3 - x)\,dx = \left(x^4 - \frac{x^2}{2}\right)\Big|_1^3 = \left(81 - \frac92\right) - \left(1 - \frac12\right) = 76. A = ∫ 1 3 ( 4 x 3 − x ) d x = ( x 4 − 2 x 2 ) 1 3 = ( 81 − 2 9 ) − ( 1 − 2 1 ) = 76.
Răspuns: 76 76 76 Barem: 3p primitiva, 2p calculul.
Rezumatul răspunsurilor
Cerință Răspuns I.3 x = 2 x = 2 x = 2 I.4 p = 2 9 p = \frac29 p = 9 2 I.5 perimetrul = 12 = 12 = 12 II.1.a det A = 5 \det A = 5 det A = 5 II.1.b a = 1 a = 1 a = 1 II.1.c det = ( 2 a − 2 ) 2 ≥ 0 \det = (2a-2)^2 \ge 0 det = ( 2 a − 2 ) 2 ≥ 0 II.2.c x = 3 x = 3 x = 3 III.2.c aria = 76 = 76 = 76
Ce merită reținut din varianta 2
Expresii simetrice în rădăcini se calculează cu Viète, fără a rezolva ecuația.det ( A B − B A ) \det(AB - BA) det ( A B − B A ) 2 × 2 2\times2 2 × 2 Încadrarea pe un interval : dacă f f f f ( a ) f(a) f ( a ) f ( b ) f(b) f ( b ) Aria : verifică semnul funcției pe interval înainte de a integra.