Rezolvare BAC 2016 Matematică (tehnologic) — Sesiune specială, varianta 1, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2016 la Matematică M_tehnologic, sesiunea specială, varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $1 - \frac14 : 0{,}25 = 0$

$0{,}25 = \frac14$, deci $\frac14 : \frac14 = 1$ și $1 - 1 = 0$. Barem: 3p + 2p.

2. $f(x) = x + 1$; calculați $f(-1)\cdot f(1)$

$f(-1) = 0$, deci produsul este $0$. Barem: 3p + 2p.

3. Ecuația $\sqrt{2x - 3} = 5$

$2x - 3 = 25 \iff x = 14$, care verifică. Barem: 3p + 2p.

4. Prețul de 100 lei după o scumpire cu 20%

$\frac{20}{100}\cdot100 = 20$ lei, deci prețul nou este $120$ lei. Barem: 3p + 2p.

5. Distanța dintre $A(2,4)$ și $B(5,4)$

$AB = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3.$

Barem: 3p + 2p.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AC = 6$, $B = \frac\pi4$; aflați $AB$

$C = \frac\pi2 - \frac\pi4 = \frac\pi4 = B$, deci triunghiul este isoscel: $AB = AC = 6$. Barem: 3p + 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 1 & -2\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} x & 1\\ y & -1\end{pmatrix}$

a) $\det A = -4$

$\det A = -2 - 2 = -4.$

Barem: 3p + 2p.

b) $\det(A - 2B) = 0$

$A - 2B = \begin{pmatrix} 1 - 2x & 0\\ 1 - 2y & 0\end{pmatrix}.$

A doua coloană este nulă, deci $\det(A - 2B) = 0$ pentru orice $x, y$. Barem: 2p + 3p.

c) $x, y$ cu $A\cdot B = B\cdot A$

$A\cdot B = \begin{pmatrix} x + 2y & -1\\ x - 2y & 3\end{pmatrix}, \qquad B\cdot A = \begin{pmatrix} x + 1 & 2x - 2\\ y - 1 & 2y + 2\end{pmatrix}.$

Din $(1,1)$: $2y = 1 \Rightarrow y = \frac12$. Din $(1,2)$: $2x - 2 = -1 \Rightarrow x = \frac12$. Verificare: $(2,1)$: $\frac12 - 1 = -\frac12 = \frac12 - 1$ ✔; $(2,2)$: $3 = 1 + 2$ ✔.

Răspuns: $x = y = \dfrac12$. Barem: 2p + 3p.

2. $x\circ y = xy + 2x + 2y + 2$

a) $1\circ(-2) = -2$

$-2 + 2 - 4 + 2 = -2.$

Barem: 3p + 2p.

b) $x\circ y = (x+2)(y+2) - 2$

$xy + 2x + 2y + 4 - 2 = x(y+2) + 2(y+2) - 2 = (x+2)(y+2) - 2.$

Barem: 3p + 2p.

c) $x \ne 0$ cu $x\circ\frac1x = x$

$(x + 2)\left(\frac1x + 2\right) - 2 = x \iff (x+2)\left(\frac1x + 2\right) = x + 2 \iff (x + 2)\left(\frac1x + 1\right) = 0.$

$x = -2$ sau $\frac1x = -1 \Rightarrow x = -1$.

Răspuns: $x \in \{-2, -1\}$. Barem: 3p + 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = x^3 + x^2 - x + 1$

a) $f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$

Derivăm termen cu termen: $3x^2 + 2x - 1 + 0$. Barem: 2p + 3p.

b) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{xf'(x)}{f(x)} = 3$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^3 + 2x^2 - x}{x^3 + x^2 - x + 1} = \frac31 = 3.$

Barem: 2p + 3p.

c) Punctele în care tangenta este paralelă cu $y = 4x + 1$

Tangenta paralelă $\iff$ aceeași pantă: $f'(x) = 4$.

$3x^2 + 2x - 1 = 4 \iff 3x^2 + 2x - 5 = 0 \iff (x - 1)(3x + 5) = 0.$

Răspuns: $x \in \left\{-\dfrac53, 1\right\}$. Barem: 2p + 3p.

2. $f(x) = x^5 + x^3 + 2x$

a) $\displaystyle\int_{-1}^1(f(x) - x^3 - 2x)\,dx = 0$

$\int_{-1}^1 x^5\,dx = \frac{x^6}{6}\Big|_{-1}^1 = 0.$

Barem: 2p + 3p.

b) $\displaystyle\int_0^2 e^x\big(f(x) - x^5 - x^3 + 1\big)dx = 3e^2 + 1$

$f(x) - x^5 - x^3 + 1 = 2x + 1$. Prin părți:

$\int_0^2 e^x(2x + 1)\,dx = e^x(2x + 1)\Big|_0^2 - 2\int_0^2 e^x\,dx = (5e^2 - 1) - 2(e^2 - 1) = 3e^2 + 1.$

Barem: 3p + 2p.

c) Orice primitivă a lui $f$ este convexă pe $\mathbb R$

Dacă $F' = f$, atunci $F''(x) = f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 2 > 0$ pentru orice $x$, deci $F$ este convexă. $\blacksquare$ Barem: 2p + 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$0$
I.3	$x = 14$
I.4	120 lei
I.5	$3$
I.6	$AB = 6$
II.1.c	$x = y = \frac12$
II.2.c	$x \in \{-2, -1\}$
III.1.c	$x \in \{-\frac53, 1\}$
III.2.b	$3e^2 + 1$

Ce merită reținut din varianta 1

• Tangentă paralelă cu o dreaptă dată: rezolvă $f'(x) =$ panta dreptei.
• Convexitatea primitivelor: $F'' = f'$.
• Un determinant cu o coloană nulă este $0$.
• Ecuații cu legea $(x+a)(y+a) - a$: aduce totul la un produs nul.