Rezolvare BAC 2017 Matematică (tehnologic) — Simulare națională, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Simulare Bacalaureat 2017 la Matematică M_tehnologic (clasa a XII-a). Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $(2 + \sqrt3)^2 + (1 - 2\sqrt3)^2 = 20$

$(2 + \sqrt3)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3, \qquad (1 - 2\sqrt3)^2 = 1 - 4\sqrt3 + 12 = 13 - 4\sqrt3.$

Suma: $7 + 13 = 20$. Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x^2 - 3x$; $f(1)\cdot f(2)\cdot f(3)\cdot f(4)$

$f(3) = 9 - 9 = 0$, deci produsul este $0$.

Răspuns: $0$. Barem: 3p $f(3) = 0$, 2p concluzia.

3. $8^x = 4^{2x+1}$

$2^{3x} = 2^{4x + 2} \iff 3x = 4x + 2 \iff x = -2$.

Răspuns: $x = -2$. Barem: 3p, 2p.

4. După o scumpire cu $25\%$, prețul este 250 lei; prețul inițial

$p + \frac{25}{100}p = 250 \iff \frac54p = 250 \iff p = 200.$

Răspuns: 200 de lei. Barem: 2p, 3p.

5. $A(1,5)$, $B(1,1)$, $C(5,5)$: triunghiul $ABC$ este isoscel

$AB = \sqrt{0 + 16} = 4$, $AC = \sqrt{16 + 0} = 4$, deci $AB = AC$ și triunghiul este isoscel. Barem: 2p, 3p.

6. $\sin 60^\circ + \operatorname{tg} 45^\circ = \cos 30^\circ + \operatorname{ctg} 45^\circ$

$\sin 60^\circ = \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{2}$ și $\operatorname{tg}45^\circ = \operatorname{ctg}45^\circ = 1$; ambii membri valorează $\dfrac{\sqrt3}{2} + 1$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A(x) = \begin{pmatrix} x & 2\\ x & x\end{pmatrix}$

a) $\det(A(3)) = 3$

$3\cdot 3 - 3\cdot 2 = 9 - 6 = 3$. Barem: 3p, 2p.

b) $A(2017 + x) + A(2017 - x) = 2A(2017)$

$\begin{pmatrix} 2017 + x & 2\\ 2017 + x & 2017 + x\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2017 - x & 2\\ 2017 - x & 2017 - x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4034 & 4\\ 4034 & 4034\end{pmatrix} = 2A(2017).$

Barem: 3p, 2p.

c) $\det(A(2) + mA(1)) = 0$

$A(2) + mA(1) = \begin{pmatrix} 2 + m & 2 + 2m\\ 2 + m & 2 + m\end{pmatrix},$

$\det = (2 + m)^2 - (2 + m)(2 + 2m) = (2 + m)(2 + m - 2 - 2m) = -m(m + 2).$

$-m(m + 2) = 0 \iff m \in \{-2, 0\}$.

Răspuns: $m \in \{-2, 0\}$. Barem: 3p, 2p.

2. Legea $x * y = 2xy + 6x + 6y + 15$

a) $x * y = 2(x + 3)(y + 3) - 3$

$2(x+3)(y+3) - 3 = 2xy + 6x + 6y + 18 - 3 = 2xy + 6x + 6y + 15.$

Barem: 2p, 3p.

b) $7 * 98 = 2017$

$2\cdot 10\cdot 101 - 3 = 2020 - 3 = 2017$. Barem: 3p, 2p.

c) $x * (x + 2) = 3$

$2(x + 3)(x + 5) - 3 = 3 \iff (x + 3)(x + 5) = 3 \iff x^2 + 8x + 12 = 0 \iff (x + 6)(x + 2) = 0.$

Răspuns: $x \in \{-6, -2\}$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(2, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x - 2}$

a) $\lim\limits_{x\to3}\dfrac{f(x) - f(3)}{x - 3} = 0$

Limita este $f'(3)$. $f'(x) = 1 - \dfrac{1}{(x - 2)^2}$, deci $f'(3) = 1 - 1 = 0$. Barem: 2p, 3p.

b) Asimptota oblică spre $+\infty$

$m = \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x} = \lim_{x\to+\infty}\left(1 + \frac1x + \frac{1}{x(x-2)}\right) = 1,$

$n = \lim_{x\to+\infty}(f(x) - x) = \lim_{x\to+\infty}\left(1 + \frac{1}{x - 2}\right) = 1.$

Răspuns: $y = x + 1$. Barem: 2p $m$, 3p $n$ și concluzia.

c) $f$ convexă pe $(2, +\infty)$

$f''(x) = \dfrac{2}{(x - 2)^3} > 0$ pentru $x > 2$, deci $f$ este convexă. Barem: 3p, 2p.

2. $f(x) = 1 + \ln x$, $F(x) = x\ln x$, pe $(0, +\infty)$

a) $\displaystyle\int_1^e(f(x) - \ln x)\,dx$

$\int_1^e 1\,dx = x\Big|_1^e = e - 1.$

Răspuns: $e - 1$. Barem: 3p, 2p.

b) $F$ este primitivă a lui $f$

$F'(x) = \ln x + x\cdot\dfrac1x = \ln x + 1 = f(x)$. Barem: 3p, 2p.

c) $\displaystyle\int_1^e f(x)F(x)\,dx = \frac{e^2}{2}$

Cum $f = F'$, $\displaystyle\int F'F\,dx = \frac{F^2}{2}$:

$\frac{F^2(x)}{2}\Big|_1^e = \frac{(e\ln e)^2 - (1\cdot\ln 1)^2}{2} = \frac{e^2}{2}.$

Barem: 3p, 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$0$
I.3	$x = -2$
I.4	200 lei
II.1.c	$m \in \{-2, 0\}$
II.2.b	$2017$
II.2.c	$x \in \{-6, -2\}$
III.1.b	$y = x + 1$
III.2.a	$e - 1$
III.2.c	$\tfrac{e^2}{2}$

Ce merită reținut din simulare

• Un factor nul anulează produsul: caută întâi un $f(k) = 0$.
• Asimptota oblică: $m = \lim\frac{f(x)}{x}$, $n = \lim(f(x) - mx)$.
• $\int F'F = \frac{F^2}{2}$ — recunoaște derivata în integrand.