Rezolvare BAC 2014 Matematică (tehnologic) — Iunie–Iulie, varianta 1, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2014 la Matematică M_tehnologic, sesiunea iunie–iulie (2 iulie 2014), varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $5(2 + \sqrt3) - 5\sqrt3 = 10$

$5(2 + \sqrt3) - 5\sqrt3 = 10 + 5\sqrt3 - 5\sqrt3 = 10.$

Barem: 3p + 2p.

2. $a$ cu $f(1) = a$, $f(x) = x + 3$

$a = f(1) = 1 + 3 = 4$. Barem: 3p + 2p.

3. Ecuația $\log_2(2x + 1) = \log_2 5$

$2x + 1 = 5 \iff x = 2$, care verifică ($2x + 1 = 5 > 0$). Barem: 3p + 2p.

4. Probabilitatea ca un număr de două cifre să fie divizibil cu 10

Favorabile: $10, 20, \dots, 90$ — 9; posibile: 90.

$p = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}.$

Barem: 2p + 1p + 2p.

5. Distanța dintre $A(2,5)$ și $B(3,5)$

$AB = \sqrt{(2-3)^2 + (5-5)^2} = 1.$

Barem: 3p + 2p.

6. $\sin^2 30^\circ + \cos^2 45^\circ = \frac34$

$\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac24 = \frac34.$

Barem: 2p + 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 4 & 8\\ 1 & 2\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ -1 & -2\end{pmatrix}$, $C = \begin{pmatrix} 3 & x\\ 2 & 4\end{pmatrix}$

a) $\det A = 0$

$\det A = 4\cdot2 - 1\cdot8 = 0.$

Barem: 2p + 3p.

b) $x$ cu $B + C = A$

$B + C = \begin{pmatrix} 4 & 2 + x\\ 1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 8\\ 1 & 2\end{pmatrix} \iff 2 + x = 8 \iff x = 6.$

Barem: 3p + 2p.

c) $B\cdot B + B = O_2$

$B\cdot B = \begin{pmatrix} 1 - 2 & 2 - 4\\ -1 + 2 & -2 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & -2\\ 1 & 2\end{pmatrix} = -B,$

deci $B\cdot B + B = -B + B = O_2$. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

2. $x\circ y = xy + 4x + 4y + 12$

a) $0\circ(-4) = -4$

$0 + 0 - 16 + 12 = -4.$

Barem: 3p + 2p.

b) $x\circ y = (x+4)(y+4) - 4$

$xy + 4x + 4y + 16 - 4 = x(y+4) + 4(y+4) - 4 = (x+4)(y+4) - 4.$

Barem: 2p + 3p.

c) $x\circ x = 12$

$(x+4)^2 - 4 = 12 \iff (x+4)^2 = 16 \iff x + 4 = \pm4 \iff x \in \{-8, 0\}.$

Barem: 2p + 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = \ln x - \frac1x$

a) $f'(x) = \dfrac{x+1}{x^2}$

$f'(x) = \frac1x + \frac{1}{x^2} = \frac{x + 1}{x^2}.$

Barem: 3p + 2p.

b) $\lim\limits_{x\to2}\dfrac{f(x) - f(2)}{x - 2} = \dfrac34$

Limita este $f'(2) = \dfrac{2+1}{4} = \dfrac34$. Barem: 3p + 2p.

c) Tangenta în $x_0 = 1$

$f(1) = 0 - 1 = -1$, $f'(1) = 2$.

$y + 1 = 2(x - 1) \iff y = 2x - 3.$

Barem: 2p + 3p.

2. $f(x) = e^x - x$, $F(x) = e^x - \frac{x^2}{2} - 1$

a) $\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx = e - 1$

$e^x\Big|_0^1 = e - 1.$

Barem: 3p + 2p.

b) $F$ este primitivă a lui $f$

$F'(x) = e^x - x = f(x).$

Barem: 3p + 2p.

c) $\displaystyle\int_0^1 F(x)\,dx$

$\int_0^1\left(e^x - \frac{x^2}{2} - 1\right)dx = (e - 1) - \frac{x^3}{6}\Big|_0^1 - 1 = e - 1 - \frac16 - 1 = e - \frac{13}{6}.$

Răspuns: $e - \dfrac{13}{6}$. Barem: 2p + 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$a = 4$
I.3	$x = 2$
I.4	$p = \frac{1}{10}$
I.5	$1$
II.1.b	$x = 6$
II.2.c	$x \in \{-8, 0\}$
III.1.b	$\frac34$
III.1.c	$y = 2x - 3$
III.2.c	$e - \frac{13}{6}$

Ce merită reținut din varianta 1

• Legea $(x+a)(y+a) - a$: ecuația $x\circ x = c$ devine $(x+a)^2 = c + a$.
• Dacă $B^2 = -B$, atunci $B^2 + B = O_2$ fără alte calcule.
• Limita $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$ este $f'(a)$.
• Integrala unei sume = suma integralelor; separă termenii.