Rezolvare BAC 2015 Matematică (tehnologic) — August–Septembrie, varianta 1, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_tehnologic, sesiunea august–septembrie, varianta 1. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Arătați că $\frac12 : 0{,}5 - 1 = 0$

$0{,}5 = \frac12$, deci $\frac12 : \frac12 - 1 = 1 - 1 = 0$. Barem: 2p + 3p.

2. $f(x) = x^2 + x$; $f(-1) + f(0) + f(1)$

$f(-1) = 0$, $f(0) = 0$, $f(1) = 2$; suma este $2$. Barem: 3p + 2p.

3. Ecuația $\sqrt{3x + 1} = 5$

$3x + 1 = 25 \iff x = 8$, care verifică ($\sqrt{25} = 5$). Barem: 3p + 2p.

4. Prețul de 150 lei după o scumpire cu 30%

$\frac{30}{100}\cdot150 = 45$ lei, deci prețul nou este $195$ lei. Barem: 3p + 2p.

5. Distanța dintre $A(1,5)$ și $B(3,5)$

$AB = \sqrt{(3-1)^2 + 0^2} = 2.$

Barem: 3p + 2p.

6. Triunghi dreptunghic în $A$, $AC = 5$, $B = 45^\circ$; aflați $AB$

$C = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ = B$, deci triunghiul este dreptunghic isoscel și $AB = AC = 5$. Barem: 3p + 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $M = \begin{pmatrix} -2 & 2\\ -1 & -1\end{pmatrix}$

a) $\det M = 4$

$\det M = (-2)(-1) - 2\cdot(-1) = 2 + 2 = 4.$

Barem: 3p + 2p.

b) $M\cdot M + 3M + 4I_2 = O_2$

$M\cdot M = \begin{pmatrix} 4 - 2 & -4 - 2\\ 2 + 1 & -2 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -6\\ 3 & -1\end{pmatrix}, \quad 3M = \begin{pmatrix} -6 & 6\\ -3 & -3\end{pmatrix}, \quad 4I_2 = \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}.$

Suma: $\begin{pmatrix} 2 - 6 + 4 & -6 + 6\\ 3 - 3 & -1 - 3 + 4\end{pmatrix} = O_2$. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

c) $a, b$ cu $M\cdot M\cdot M = aM + bI_2$

Din b), $M^2 = -3M - 4I_2$. Înmulțind cu $M$:

$M^3 = -3M^2 - 4M = -3(-3M - 4I_2) - 4M = 5M + 12I_2.$

Verificare directă: $M^3 = \begin{pmatrix} 2 & 10\\ -5 & 7\end{pmatrix}$ și $5M + 12I_2 = \begin{pmatrix} -10 + 12 & 10\\ -5 & -5 + 12\end{pmatrix}$ ✔.

Răspuns: $a = 5$, $b = 12$. Barem: 3p + 2p.

2. $f = X^3 - 5X^2 + 5X - 1$

a) $f(1) = 0$

$f(1) = 1 - 5 + 5 - 1 = 0.$

Barem: 3p + 2p.

b) $f(a) + f(-a) + 2 \le 0$

$f(a) = a^3 - 5a^2 + 5a - 1$, $f(-a) = -a^3 - 5a^2 - 5a - 1$. Adunând (termenii impari se reduc):

$f(a) + f(-a) + 2 = -10a^2 - 2 + 2 = -10a^2 \le 0. \ \blacksquare$

Barem: 2p + 3p.

c) $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 15x_1x_2x_3$

Viète: $\sum x_i = 5$, $\sum x_ix_j = 5$, $x_1x_2x_3 = 1$.

$x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 25 - 10 = 15 = 15\cdot1 = 15x_1x_2x_3. \ \blacksquare$

Barem: 3p + 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = 2x^3 - 6x + 1$

a) $f'(x) = 6(x-1)(x+1)$

$f'(x) = 6x^2 - 6 = 6(x^2 - 1) = 6(x-1)(x+1).$

Barem: 3p + 2p.

b) Tangenta în $x = 1$

$f(1) = 2 - 6 + 1 = -3$, $f'(1) = 0$, deci tangenta este $y = -3$. Barem: 2p + 3p.

c) $f(2012) + f(2014) \le f(2013) + f(2015)$

Pe $[1, +\infty)$, $f'(x) \ge 0$, deci $f$ este crescătoare. Atunci $f(2012) \le f(2013)$ și $f(2014) \le f(2015)$; adunând, obținem inegalitatea. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

2. $f(x) = x^2 - 4$

a) $\displaystyle\int_0^1(f(x) + 4)\,dx = \frac13$

$\int_0^1 x^2\,dx = \frac13.$

Barem: 2p + 3p.

b) Aria sub $g(x) = \dfrac{1}{f(x) + 5} = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ pe $[0,1]$

$\mathcal A = \int_0^1\frac{1}{x^2 + 1}\,dx = \operatorname{arctg} x\Big|_0^1 = \frac\pi4.$

Barem: 3p + 2p.

c) $a > 1$ cu $\displaystyle\int_1^a\frac{f(x) + 4}{x}\,dx = 12$

$\dfrac{x^2}{x} = x$:

$\int_1^a x\,dx = \frac{a^2 - 1}{2} = 12 \iff a^2 = 25,$

iar $a > 1$, deci $a = 5$. Barem: 3p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$2$
I.3	$x = 8$
I.4	195 lei
I.5	$2$
I.6	$AB = 5$
II.1.c	$a = 5$, $b = 12$
III.1.b	$y = -3$
III.2.b	$\frac\pi4$
III.2.c	$a = 5$

Ce merită reținut din varianta 1

• O relație $M^2 = pM + qI$ permite exprimarea oricărei puteri $M^n$ prin $M$ și $I$.
• $f(a) + f(-a)$ păstrează doar termenii de grad par (dublați).
• Comparații de valori ale funcției se obțin din monotonie.
• $\int\frac{1}{x^2 + 1}dx = \operatorname{arctg} x$.