Rezolvare BAC 2014 Matematică (tehnologic) — Rezervă, varianta 5, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2014 la Matematică M_tehnologic, sesiunea de rezervă, varianta 5. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. $\left(1 - \dfrac12\right)^2 + \dfrac34 = 1$

$\left(\dfrac12\right)^2 = \dfrac14$, iar $\dfrac14 + \dfrac34 = 1$. Barem: 3p, 2p.

2. Intersecția graficului lui $f(x) = x + 4$ cu $Oy$

Pe $Oy$, $x = 0$: $f(0) = 4$.

Răspuns: $(0, 4)$. Barem: 3p, 2p.

3. $3^{3x - 1} = 9$

$9 = 3^2$, deci $3x - 1 = 2 \iff x = 1$.

Răspuns: $x = 1$. Barem: 3p, 2p.

4. Probabilitatea ca un număr natural de o cifră să fie $\le 3$

Numerele de o cifră: $0, 1, \dots, 9$ — 10 cazuri. Favorabile: $0, 1, 2, 3$ — 4.

Răspuns: $p = \dfrac{4}{10} = \dfrac25$. Barem: 2p, 1p, 2p.

5. $A(1,1)$, $B(4,1)$, $C(4,4)$: $AB = BC$

$AB = \sqrt{9 + 0} = 3$, $BC = \sqrt{0 + 9} = 3$. Barem: 2p, 3p.

6. Aria triunghiului dreptunghic în $A$, $AB = 6$, $BC = 10$

Pitagora: $AC = \sqrt{100 - 36} = 8$, deci $\mathcal A = \dfrac{6\cdot 8}{2} = 24$.

Răspuns: $24$. Barem: 2p, 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 4\end{pmatrix}$

a) $\det A = 0$

$1\cdot 4 - 2\cdot 2 = 0$. Barem: 2p, 3p.

b) $A\cdot A = 5A$

$A\cdot A = \begin{pmatrix} 1 + 4 & 2 + 8\\ 2 + 8 & 4 + 16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10\\ 10 & 20\end{pmatrix} = 5A.$

Barem: 3p, 2p.

c) $x, y$ cu $A + \begin{pmatrix} x & y\\ y & -3\end{pmatrix} = I_2$

$\begin{pmatrix} 1 + x & 2 + y\\ 2 + y & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix} \iff x = 0,\ y = -2.$

Răspuns: $x = 0$, $y = -2$. Barem: 3p, 2p.

2. Legea $x\circ y = x + y + xy$

a) $(-1)\circ 1 = -1$

$-1 + 1 - 1 = -1$. Barem: 3p, 2p.

b) $x\circ y = (x + 1)(y + 1) - 1$

$(x + 1)(y + 1) - 1 = xy + x + y$. Barem: 2p, 3p.

c) $(x + 1)\circ(x - 3) = 4$

$(x + 2)(x - 2) - 1 = 4 \iff x^2 = 9.$

Răspuns: $x \in \{-3, 3\}$. Barem: 3p, 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f:(2, +\infty) \to \mathbb R$, $f(x) = \dfrac{x - 1}{x - 2}$

a) $\lim\limits_{x\to3} f(x) = 2$

$f$ este continuă în 3: $\dfrac{3 - 1}{3 - 2} = 2$. Barem: 2p, 3p.

b) $f'(x) = -\dfrac{1}{(x-2)^2}$

$f'(x) = \frac{(x - 2) - (x - 1)}{(x - 2)^2} = \frac{-1}{(x - 2)^2}.$

Barem: 2p, 3p.

c) Tangenta în $x_0 = 3$

$f(3) = 2$, $f'(3) = -1$: $y - 2 = -(x - 3) \iff y = -x + 5$.

Răspuns: $y = -x + 5$. Barem: 2p, 3p.

2. $f(x) = x^2 + 2x + 1$

a) $\displaystyle\int_{-1}^1(2x + 1)\,dx = 2$

$(x^2 + x)\Big|_{-1}^1 = 2 - 0 = 2.$

Barem: 3p, 2p.

b) Volumul pentru $g(x) = f(x) - 2x - 1 = x^2$, $x \in [0,1]$

$V = \pi\int_0^1 x^4\,dx = \pi\frac{x^5}{5}\Big|_0^1 = \frac\pi5.$

Răspuns: $\dfrac\pi5$. Barem: 2p, 3p.

c) Orice primitivă a lui $f$ este crescătoare

$F'(x) = f(x) = (x + 1)^2 \ge 0$ pentru orice $x$, deci $F$ este crescătoare pe $\mathbb R$. Barem: 2p, 3p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$(0, 4)$
I.3	$x = 1$
I.4	$p = \tfrac25$
I.6	$24$
II.1.c	$x = 0$, $y = -2$
II.2.c	$x \in \{-3, 3\}$
III.1.c	$y = -x + 5$
III.2.b	$\tfrac\pi5$

Ce merită reținut din varianta 5

• Numerele de o cifră includ și $0$ — sunt 10, nu 9.
• Legea $x + y + xy = (x+1)(y+1) - 1$ simplifică orice ecuație cu compuneri.
• Monotonia primitivei se citește din semnul funcției: $F' = f \ge 0 \Rightarrow F$ crescătoare.