Rezolvare BAC 2015 Matematică (tehnologic) — Model oficial, pas cu pas

Rezolvarea completă a modelului de subiect pentru Bacalaureat 2015 la Matematică M_tehnologic. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Media aritmetică a numerelor $a = 2(5 - \sqrt5)$ și $b = 2\sqrt5$

$m_a = \frac{10 - 2\sqrt5 + 2\sqrt5}{2} = \frac{10}{2} = 5.$

Barem: 3p + 2p.

2. Abscisele punctelor de intersecție ale graficului lui $f(x) = x^2 - 4x + 3$ cu $Ox$

$x^2 - 4x + 3 = 0 \iff (x-1)(x-3) = 0$.

Răspuns: $x_1 = 1$, $x_2 = 3$. Barem: 3p + 2p.

3. Ecuația $\log_5(2x - 1) - \log_5 3 = 0$

$\log_5\frac{2x-1}{3} = 0 \iff \frac{2x-1}{3} = 1 \iff x = 2,$

care verifică ($2x - 1 = 3 > 0$). Barem: 3p + 2p.

4. Probabilitatea ca un număr natural de o cifră să fie multiplu de 3

Multiplii lui 3 de o cifră: $0, 3, 6, 9$ — 4 favorabile din 10 posibile.

$p = \frac{4}{10} = \frac25.$

(Atenție: $0$ este multiplu al oricărui număr.) Barem: 2p + 1p + 2p.

5. Mijlocul segmentului $AB$, $A(2,4)$, $B(6,4)$

$x_M = 4$, $y_M = 4$. Răspuns: $M(4, 4)$. Barem: 3p + 2p.

6. $\sin(a + b) = \frac{63}{65}$, cu $a, b \in \left(0, \frac\pi2\right)$, $\sin a = \frac35$, $\sin b = \frac{12}{13}$

În cadranul I cosinusurile sunt pozitive: $\cos a = \frac45$, $\cos b = \frac{5}{13}$.

$\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b = \frac35\cdot\frac{5}{13} + \frac45\cdot\frac{12}{13} = \frac{15 + 48}{65} = \frac{63}{65}.$

Barem: 2p + 3p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 1 & -1\end{pmatrix}$

a) $\det A$

$\det A = -2 + 2 = 0.$

Barem: 3p + 2p.

b) $p$ cu $A\cdot A = pA$

$A\cdot A = \begin{pmatrix} 4 - 2 & -4 + 2\\ 2 - 1 & -2 + 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2\\ 1 & -1\end{pmatrix} = A,$

deci $A = pA$, iar $A \ne O_2$ impune $p = 1$. Barem: 3p + 2p.

c) $B = \begin{pmatrix} 0 & b\\ b & 0\end{pmatrix}$ cu $\det(A + B) = 0$

$A + B = \begin{pmatrix} 2 & b - 2\\ b + 1 & -1\end{pmatrix}, \qquad \det(A + B) = -2 - (b-2)(b+1) = -b^2 + b.$

$-b^2 + b = 0 \iff b \in \{0, 1\}$.

Răspuns: $B = O_2$ sau $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$. Barem: 2p + 3p.

2. $x\circ y = -xy + x + y$

a) $1\circ2015$

$-2015 + 1 + 2015 = 1.$

Barem: 3p + 2p.

b) $x\circ y = -(x-1)(y-1) + 1$

$-xy + x + y = -x(y - 1) + (y - 1) + 1 = -(x-1)(y-1) + 1.$

Barem: 3p + 2p.

c) $3^x\circ5^x = 1$

$-(3^x - 1)(5^x - 1) + 1 = 1 \iff (3^x - 1)(5^x - 1) = 0.$

$3^x = 1$ sau $5^x = 1$; în ambele cazuri $x = 0$.

Răspuns: $x = 0$. Barem: 2p + 3p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = \dfrac{3x}{x^2 + 1}$

a) $\lim\limits_{x\to1} f(x)$

$f$ continuă, deci limita este $f(1) = \dfrac32$. Barem: 2p + 3p.

b) $f'(x) = -\dfrac{3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}$

$f'(x) = \frac{3(x^2 + 1) - 3x\cdot2x}{(x^2+1)^2} = \frac{3 - 3x^2}{(x^2+1)^2} = -\frac{3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}.$

Barem: 2p + 3p.

c) Intervalele de monotonie

$f'(x) = 0 \iff x = \pm1$; semnul lui $f'$ este semnul lui $3 - 3x^2$.

$x$	$(-\infty, -1]$	$[-1, 1]$	$[1, +\infty)$
$f'$	$-$	$+$	$-$
$f$	descrescătoare	crescătoare	descrescătoare

Barem: 2p + 1p + 1p + 1p.

2. $f(x) = x^5 + x$

a) $\displaystyle\int_{-1}^1 x^5\,dx$

$\frac{x^6}{6}\Big|_{-1}^1 = \frac16 - \frac16 = 0.$

(Funcție impară pe interval simetric.) Barem: 3p + 2p.

b) $\displaystyle\int_0^1(f(x) - x^5)e^x\,dx = 1$

$\int_0^1 xe^x\,dx = xe^x\Big|_0^1 - \int_0^1 e^x\,dx = e - (e - 1) = 1.$

Barem: 3p + 2p.

c) Volumul pentru $g(x) = \dfrac{f(x) - x}{x^3} = x^2$ pe $[1,2]$

$V = \pi\int_1^2 x^4\,dx = \pi\frac{x^5}{5}\Big|_1^2 = \frac{31\pi}{5}.$

Barem: 3p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.1	$5$
I.2	$1$ și $3$
I.3	$x = 2$
I.4	$p = \frac25$
I.5	$M(4, 4)$
II.1.a	$0$
II.1.b	$p = 1$
II.1.c	$b \in \{0, 1\}$
II.2.a	$1$
II.2.c	$x = 0$
III.1.a	$\frac32$
III.2.a	$0$
III.2.c	$\frac{31\pi}{5}$

Ce merită reținut din modelul 2015

• $\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b$; cosinusurile se obțin din $\sin^2 + \cos^2 = 1$ și cadran.
• Legea $-(x-1)(y-1) + 1$: ecuația $u\circ v = 1$ înseamnă $(u-1)(v-1) = 0$.
• Integrala unei funcții impare pe $[-a, a]$ este $0$.
• Matrice idempotentă ($A^2 = A$) cu determinant $0$.