Rezolvare BAC 2015 Matematică (tehnologic) — Rezervă, varianta 3, pas cu pas

Rezolvarea completă a subiectului de Bacalaureat 2015 la Matematică M_tehnologic, sesiunea de rezervă, varianta 3. Pentru fiecare cerință găsești enunțul pe scurt, rezolvarea pas cu pas, răspunsul final și cum se punctează conform baremului oficial. Timp de lucru la examen: 3 ore; se acordă 10 puncte din oficiu.

Cum să folosești rezolvarea: lucrează întâi singur subiectul (deschide PDF-ul de mai sus), apoi compară fiecare pas. Dacă ai ajuns la alt drum corect, primești tot punctajul — baremul acceptă orice soluție corectă.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Media geometrică a numerelor $16$ și $9$ este $12$

$m_g = \sqrt{16\cdot9} = 4\cdot3 = 12.$

Barem: 3p + 2p.

2. $m$ cu $f(2) = 0$, $f(x) = x + m$

$2 + m = 0 \iff m = -2$. Barem: 2p + 3p.

3. Ecuația $3^{2x+1} = 3^5$

$2x + 1 = 5 \iff x = 2$. Barem: 3p + 2p.

4. Probabilitatea ca un număr din $\{1, \dots, 9\}$ să fie multiplu de 2

Favorabile: $2, 4, 6, 8$ — 4 din 9.

$p = \frac49.$

Barem: 1p + 2p + 2p.

5. Mijlocul segmentului $AB$, $A(-1,3)$, $B(5,3)$

$x_M = \frac{-1 + 5}{2} = 2$, $y_M = 3$. Răspuns: $M(2, 3)$. Barem: 3p + 2p.

6. $\sin x = \frac12$, știind $x \in \left(0, \frac\pi2\right)$ și $\cos x = \frac{\sqrt3}{2}$

$\sin^2 x = 1 - \frac34 = \frac14,$

iar în cadranul I $\sin x > 0$, deci $\sin x = \frac12$. Barem: 3p + 2p.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. $A = \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -4 & 0\\ 0 & 4\end{pmatrix}$, $C(x) = \begin{pmatrix} x & 1\\ 2 & 3\end{pmatrix}$

a) $\det A = -5$

$\det A = 1 - 6 = -5.$

Barem: 3p + 2p.

b) $\det(A + C(-1)) = \det B$

$A + C(-1) = \begin{pmatrix} 0 & 4\\ 4 & 4\end{pmatrix}, \quad \det = 0 - 16 = -16; \qquad \det B = -16.$

Barem: 3p + 2p.

c) $x$ cu $C(x)\cdot A - A\cdot C(x) = B$

$C(x)\cdot A = \begin{pmatrix} x + 2 & 3x + 1\\ 8 & 9\end{pmatrix}, \qquad A\cdot C(x) = \begin{pmatrix} x + 6 & 10\\ 2x + 2 & 5\end{pmatrix},$

$C(x)A - AC(x) = \begin{pmatrix} -4 & 3x - 9\\ 6 - 2x & 4\end{pmatrix}.$

Egalitatea cu $B$ cere $3x - 9 = 0$ și $6 - 2x = 0$, deci $x = 3$.

Răspuns: $x = 3$. Barem: 3p + 2p.

2. $f = X^3 + 2X^2 - 6X + 3$

a) $f(1) = 0$

$1 + 2 - 6 + 3 = 0.$

Barem: 3p + 2p.

b) Câtul și restul împărțirii la $X^2 + 3X - 3$

$(X - 1)(X^2 + 3X - 3) = X^3 + 3X^2 - 3X - X^2 - 3X + 3 = X^3 + 2X^2 - 6X + 3 = f$.

Răspuns: câtul $X - 1$, restul $0$. Barem: 3p + 2p.

c) $x_1 + x_2 + x_3 + \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \frac{1}{x_3} = 0$

Viète: $\sum x_i = -2$, $\sum x_ix_j = -6$, $x_1x_2x_3 = -3$.

$\sum\frac{1}{x_i} = \frac{\sum x_ix_j}{x_1x_2x_3} = \frac{-6}{-3} = 2,$

deci suma cerută este $-2 + 2 = 0$. $\blacksquare$ Barem: 3p + 2p.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

1. $f(x) = x^3 - 3x + 1$

a) $f'(x) = 3(x-1)(x+1)$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1).$

Barem: 3p + 2p.

b) $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x) - x^3}{x}$

$\lim_{x\to+\infty}\frac{-3x + 1}{x} = -3.$

Barem: 2p + 3p.

c) $-1 \le f(x) \le 3$ pentru $x \in [-1, 1]$

Pe $[-1, 1]$, $f'(x) \le 0$, deci $f$ este descrescătoare: $f(1) \le f(x) \le f(-1)$.

$f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$, $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$. $\blacksquare$ Barem: 2p + 3p.

2. $f:(0,+\infty)\to\mathbb R$, $f(x) = 2x + \frac1x$

a) $\displaystyle\int_2^3\left(f(x) - \frac1x\right)dx = 5$

$\int_2^3 2x\,dx = x^2\Big|_2^3 = 9 - 4 = 5.$

Barem: 3p + 2p.

b) $F(x) = x^2 + \ln x + 2015$ este primitivă a lui $f$

$F'(x) = 2x + \frac1x = f(x).$

Barem: 2p + 3p.

c) Volumul pentru $g(x) = f(x) - 2x = \frac1x$ pe $[1,2]$

$V = \pi\int_1^2\frac{1}{x^2}\,dx = \pi\left(-\frac1x\right)\Big|_1^2 = \pi\left(-\frac12 + 1\right) = \frac\pi2.$

Barem: 3p + 2p.

Rezumatul răspunsurilor

Cerință	Răspuns
I.2	$m = -2$
I.3	$x = 2$
I.4	$p = \frac49$
I.5	$M(2, 3)$
II.1.c	$x = 3$
II.2.b	cât $X - 1$, rest $0$
III.1.b	$-3$
III.2.c	$\frac\pi2$

Ce merită reținut din varianta 3

• Media geometrică: $m_g = \sqrt{ab}$.
• $\sum\frac{1}{x_i} = \frac{\sigma_2}{\sigma_3}$ pentru un polinom de grad 3.
• Încadrarea unei funcții monotone pe un interval: valorile de la capete.
• $AB - BA$: calculează ambele produse — ordinea contează.